Le groupe des classes de ℤ[√−5]

Ici $d = -5 \equiv 3 \pmod 4$, $\mathcal O = {\mathbb Z}[\sqrt{-5}]$ (Corps quadratiques, (ii)) et $C_{-5} = 6$ : toute classe contient un idéal de norme au plus $6$ (Groupe des classes, (ii)).

Un idéal $I$ de norme $m$ contient $m$, donc divise $(m)$ : on a $(m) = IL$ pour un idéal $L$ (Norme d'un idéal, (iv) et (i)). En factorisant $I$ et $L$ en idéaux premiers, l'unicité de la factorisation de $(m)$ (Factorisation des idéaux) montre que les facteurs premiers de $I$ sont, avec leurs multiplicités, parmi ceux de $(m)$. Il reste à factoriser $(m)$ pour $m \leqslant 6$.

Soient $\mathfrak q = (3, 1 + \sqrt{-5})$ et $\mathfrak q' = (3, 1 - \sqrt{-5})$. On a $\mathfrak p^2 = (2)$ (Idéaux, (ii)) et $\mathfrak q\mathfrak q' = (3)$, puisque $\mathfrak q\mathfrak q'$ est engendré par $9$, $3(1 \pm \sqrt{-5})$ et $6$, tous multiples de $3$, et contient $9 - 6 = 3$.

Par Norme d'un idéal, (ii) et (iii), $N(\mathfrak p)^2 = 4$, donc $N(\mathfrak p) = 2$. La conjugaison envoie $\mathfrak q$ sur $\mathfrak q'$, donc $N(\mathfrak q) = N(\mathfrak q')$ comme dans la preuve de (iii) du même nœud ; comme $N(\mathfrak q)N(\mathfrak q') = 9$, ces deux normes valent $3$.

Ces trois idéaux, de norme première, sont premiers (Norme d'un idéal, (iv)). De plus $\mathfrak q \neq \mathfrak q'$ : sinon $\mathfrak q$ contiendrait $1 + \sqrt{-5}$ et $1 - \sqrt{-5}$, donc $2$ et $3$, donc $1$. De même, l'idéal $(\sqrt{-5})$, de norme $5$, est premier, et $(5) = (\sqrt{-5})^2$.

On a donc $(2) = \mathfrak p^2$, $(3) = \mathfrak q\mathfrak q'$, $(4) = \mathfrak p^4$, $(5) = (\sqrt{-5})^2$ et $(6) = \mathfrak p^2\mathfrak q\mathfrak q'$, et la norme d'un produit est le produit des normes.

Le seul idéal de norme $1$ est $\mathcal O$. Ceux de norme $2$, $3$, $4$ et $5$ sont respectivement $\mathfrak p$, puis $\mathfrak q$ et $\mathfrak q'$, puis $\mathfrak p^2 = (2)$, puis $(\sqrt{-5})$. Ceux de norme $6$ ont un facteur $\mathfrak p$ et un facteur $\mathfrak q$ ou $\mathfrak q'$ : ce sont $\mathfrak p\mathfrak q$ et $\mathfrak p\mathfrak q'$.

L'idéal $\mathfrak p\mathfrak q$ est engendré par $6$, $2(1 + \sqrt{-5})$, $3(1 + \sqrt{-5})$ et $(1 + \sqrt{-5})^2$, tous multiples de $1 + \sqrt{-5}$ puisque $6 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$ ; il contient $$3(1 + \sqrt{-5}) - 2(1 + \sqrt{-5}) = 1 + \sqrt{-5}.$$ Donc $\mathfrak p\mathfrak q = (1 + \sqrt{-5})$.

La conjugaison $\sigma$ fixe $\mathfrak p$ : $\sigma(\mathfrak p) = (2, 1 - \sqrt{-5})$ est contenu dans $\mathfrak p$, puisque $1 - \sqrt{-5} = 2 - (1 + \sqrt{-5})$ appartient à $\mathfrak p$, et contient $\mathfrak p$, puisque $1 + \sqrt{-5} = 2 - (1 - \sqrt{-5})$ appartient à $\sigma(\mathfrak p)$. Elle échange $\mathfrak q$ et $\mathfrak q'$ : elle envoie $\mathfrak p\mathfrak q$ sur $\mathfrak p\mathfrak q' = (1 - \sqrt{-5})$.

Ainsi, parmi les huit idéaux de norme au plus $6$, les cinq idéaux $\mathcal O$, $(2)$, $(\sqrt{-5})$, $\mathfrak p\mathfrak q$ et $\mathfrak p\mathfrak q'$ sont principaux. L'idéal $\mathfrak p$ ne l'est pas (Idéaux, (ii)), et $[\mathfrak p]^2 = [(2)]$ est le neutre.

Enfin $[\mathfrak p][\mathfrak q] = [(1 + \sqrt{-5})]$ est le neutre, donc $[\mathfrak q] = [\mathfrak p]^{-1} = [\mathfrak p]$, et de même $[\mathfrak q'] = [\mathfrak p]$.

Toute classe est donc le neutre ou $[\mathfrak p]$, et ces deux classes sont distinctes : le groupe a deux éléments. Si $I$ n'est pas principal, $[I] = [\mathfrak p]$, et $[\mathfrak pI] = [\mathfrak p]^2$ est le neutre ; de même pour le produit de deux idéaux non principaux.