Finitude du groupe des classes

(i) La relation est réflexive, avec $\alpha = \beta = 1$, et symétrique. Si $\alpha I = \beta J$ et $\gamma J = \delta L$, alors $$\gamma\alpha I = \gamma\beta J = \beta\delta L,$$ où $\gamma\alpha$ et $\beta\delta$ ne sont pas nuls, $\mathcal O$ étant intègre comme sous-anneau de ${\mathbb C}$ : elle est transitive.

Si $\alpha I = \beta J$, alors $\alpha(IL) = (\alpha I)L = (\beta J)L = \beta(JL)$. La classe de $IL$ ne dépend donc que de celles de $I$ et de $L$, le produit étant commutatif. Le produit des classes hérite l'associativité et la commutativité du produit des idéaux (Trois lemmes).

Un idéal $I$ est dans la classe de $\mathcal O$ si et seulement s'il est principal. En effet, si $\alpha I = \beta\mathcal O$, alors $\beta = \alpha\gamma$ avec $\gamma \in I$, puis $\alpha I = \alpha\gamma\mathcal O$, et $I = \gamma\mathcal O$ en simplifiant par $\alpha \neq 0$ ; réciproquement, $I = \gamma\mathcal O$ vérifie $1 \cdot I = \gamma\mathcal O$. Comme $\mathcal OI = I$, la classe de $\mathcal O$ est neutre.

Enfin, soit $a \in I$ non nul. Comme $a\mathcal O \subset I$, il existe un idéal $J$ tel que $IJ = a\mathcal O$ (Norme d'un idéal, (i)) : $[I][J] = [\mathcal O]$, et $[J]$ est l'inverse de $[I]$.

(ii) Soit $I$ un idéal non nul, $a \in I$ non nul, et $J$ un idéal tel que $IJ = a\mathcal O$, comme en (i). Par Petit élément, $J$ contient un $\beta \neq 0$ tel que $|N(\beta)| \leqslant C_d\,N(J)$. Comme $\beta\mathcal O \subset J$, il existe un idéal $L$ tel que $\beta\mathcal O = JL$. Alors $$\beta I = (IJ)L = aL,$$ de sorte que $L$ est dans la classe de $I$.

Par Norme d'un idéal, (ii) et (iii), $N(J)N(L) = |N(\beta)| \leqslant C_d\,N(J)$, et $N(L) \leqslant C_d$ puisque $N(J) \geqslant 1$.

(iii) Les idéaux de norme au plus $C_d$ sont en nombre fini (Norme d'un idéal, (iv)). Par (ii), l'application qui associe à chacun d'eux sa classe est surjective sur $\operatorname{Cl}(K)$, qui est donc fini, de cardinal au plus leur nombre.

Si $\mathcal O$ est principal, tous les idéaux non nuls sont dans la classe de $\mathcal O$, et $h_K = 1$. Réciproquement, si $h_K = 1$, tout idéal non nul est principal par (i), et l'idéal nul l'est aussi.