Lemme 2Théorie algébrique des nombres

Un élément de petite norme dans tout idéal

Avec les notations du nœud précédent, on pose $C_d = 1 + |d|$ si $d \equiv 2$ ou $3 \pmod 4$ , et $C_d = 2 + \frac{|d - 1|}4$ si $d \equiv 1 \pmod 4$ .

Énoncé

Tout idéal non nul $I$ de $\mathcal O$ contient un élément $\alpha \neq 0$ tel que $|N(\alpha)| \leqslant C_d\,N(I)$ .

Démonstration

Soit $n = N(I)$ , et $m$ le plus grand entier tel que $m^2 \leqslant n$ , de sorte que $(m + 1)^2 > n$ . Les $(m + 1)^2$ éléments $a + b\omega$ , avec $0 \leqslant a, b \leqslant m$ , sont deux à deux distincts, par unicité de l'écriture (Norme d'un idéal). Leurs classes dans $\mathcal O/I$ , qui n'a que $n$ éléments, ne sont donc pas deux à deux distinctes : c'est le principe des tiroirs (Ensembles finis, (i)).

Soient $x \neq x'$ deux de ces éléments, de même classe. Leur différence $\alpha = x - x'$ est un élément non nul de $I$ , de la forme $a + b\omega$ avec $|a| \leqslant m$ et $|b| \leqslant m$ .

Si $d \equiv 2$ ou $3 \pmod 4$ , $N(\alpha) = a^2 - db^2$ , et $|N(\alpha)| \leqslant a^2 + |d|b^2 \leqslant (1 + |d|)m^2.$

Si $d \equiv 1 \pmod 4$ , on écrit $\alpha = a + \frac b2 + \frac b2\sqrt d$ , et le développement de $\big(a + \frac b2\big)^2 - \frac{db^2}4$ donne $N(\alpha) = a^2 + ab + \frac{1 - d}4\,b^2,$ d'où $|N(\alpha)| \leqslant \big(2 + \frac{|d - 1|}4\big)m^2$ .

Dans les deux cas, $|N(\alpha)| \leqslant C_dm^2 \leqslant C_d\,n$ .

□

Remarque

Dans $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ , où $C_{-5} = 6$ , prenons $\mathfrak r = (7, 3 + \sqrt{-5})$ . Comme $(-3)^2 = 9 \equiv -5 \pmod 7$ , l'application $a + b\sqrt{-5} \mapsto \overline{a - 3b}$ est un morphisme surjectif sur $\mathbb Z/7\mathbb Z$ , et, comme dans la première remarque de Factorisation des idéaux, son noyau est $\mathfrak r$ : donc $N(\mathfrak r) = 7$ , et $m = 2$ .

Le point

(a, b)

figure

a + b\sqrt{-5}

, et le chiffre qui l'accompagne est sa classe

a - 3b

modulo

7

. Les neuf éléments de la boîte

0 \leqslant a, b \leqslant 2

n'ont que sept classes :

1

2\sqrt{-5}

ont la classe

1

2

1 + 2\sqrt{-5}

la classe

2

. Les deux flèches rouges pleines sont la même différence

\alpha = 1 - 2\sqrt{-5}

, que la flèche rouge en pointillé reporte depuis

0

; le point

\alpha

appartient à

\mathfrak r

, dont les points sont cerclés de vert.

Ici $|N(\alpha)| = 1 + 20 = 21$ , bien en dessous de la borne $C_{-5}N(\mathfrak r) = 42$ . Le résultat signifie que $\mathfrak r$ est relié à un idéal plus petit : comme $(\alpha) \subset \mathfrak r$ , on a $(\alpha) = \mathfrak rL$ (Norme d'un idéal, (i)), puis $7N(L) = 21$ par (ii) et (iii) du même nœud, donc $N(L) = 3$ . C'est exactement le mécanisme du nœud suivant.

Remarque

La géométrie des nombres de Minkowski, qui compare l'aire d'un convexe symétrique à celle d'une maille du réseau, améliore la constante : pour $d < 0$ , on peut remplacer $C_d$ par $\frac2\pi\sqrt{|\Delta|},$ où $\Delta$ vaut $4d$ si $d \equiv 2$ ou $3 \pmod 4$ et $d$ si $d \equiv 1 \pmod 4$ .

Pour $d = -5$ , cette borne vaut environ $2{,}85$ au lieu de $6$ . Ce raffinement est admis ici ; la constante $C_d$ suffit pour la finitude et pour le calcul de Classes de ℤ[√−5].

Repose sur

Norme d'un idéal

Sert à

Finitude du groupe des classes