Réciproque du théorème de Galois sur les radicaux

Soit $P_0$ le produit des facteurs irréductibles unitaires distincts de $P$ (Irréductibles) ; il a les mêmes racines que $P$, et il est séparable en caractéristique nulle, ses facteurs étant séparables (Séparabilité, (iv)) et deux à deux premiers entre eux, donc sans racine commune. Ainsi $L$ est un corps de décomposition de $P_0$, et $L/K$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)), de groupe $G$ d'ordre $n = [L:K]$.

Une racine primitive $n$-ième de l'unité. Soit $\Omega$ un corps de décomposition de $X^n - 1$ sur $L$ (Corps de décomposition). En caractéristique nulle, $\Omega$ contient une racine primitive $n$-ième de l'unité $\zeta$, élément d'ordre $n$ de $\Omega^\times$ (Polynômes cyclotomiques, (iii)).

Réduction au cas où le corps de base contient $\zeta$. Posons $K' = K(\zeta)$ et $L' = L(\zeta)$, dans $\Omega$. Le corps $L'$ est engendré sur $K'$ par les racines de $P_0$ : c'est un corps de décomposition de $P_0$, séparable, sur $K'$, et $L'/K'$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)), de groupe $H$.

Tout $\tau \in H$ permute les racines de $P_0$, qui engendrent $L$ sur $K$, donc $\tau(L) = L$, et $\tau \mapsto \tau|_L$ est un morphisme de $H$ dans $G$. Il est injectif : si $\tau$ fixe $L$, il fixe aussi $\zeta \in K'$, donc $L(\zeta) = L'$. Ainsi $H$ est isomorphe à un sous-groupe de $G$ ; il est résoluble (Résolubilité, facteurs, (i)), et $|H|$ divise $n$ (Lagrange).

La tour. Le groupe fini $H$ a une suite de composition (Suites de composition, (iii)), et, comme il est résoluble, ses facteurs sont d'ordre premier (Résolubilité, facteurs, (iii)) : $$H = H_0 \supset H_1 \supset \cdots \supset H_r = \{e\}$$ où $H_{i-1}/H_i$ est d'ordre premier $p_i$. Soit $M_i = L'^{H_i}$ le corps fixe de $H_i$. Par la correspondance de Galois (Théorème fondamental, (i)), $K' = M_0 \subset M_1 \subset \cdots \subset M_r = L'$, et $L'/M_{i-1}$ est galoisienne de groupe $H_{i-1}$.

Comme $H_i$ est distingué dans $H_{i-1}$, l'extension $M_i/M_{i-1}$ est galoisienne de groupe $H_{i-1}/H_i$ (même nœud, (ii), appliqué à $L'/M_{i-1}$), cyclique d'ordre $p_i$ (Groupes cycliques, (ii)).

Chaque étage est radical. Le premier $p_i$ divise $|H|$, donc $n$, et $\zeta^{n/p_i} \in K' \subset M_{i-1}$ est d'ordre $p_i$ (Groupes cycliques, (iii)) : c'est une racine primitive $p_i$-ième de l'unité. Par la théorie de Kummer (Kummer, (i)), $M_i = M_{i-1}(\beta_i)$ avec $\beta_i^{p_i} \in M_{i-1}$.

Conclusion. La tour $K \subset K(\zeta) \subset M_1 \subset \cdots \subset M_r = L'$, où $\zeta^n = 1 \in K$, est celle d'une extension radicale au sens du nœud Résolubilité par radicaux, et elle contient le corps de décomposition $L$ : $P$ est résoluble par radicaux.