Un polynôme de degré 5 non résoluble par radicaux

Soit $L \subset \mathbb C$ le corps de décomposition de $P$ obtenu au nœud Le polynôme X⁵ − 4X + 2, où $P$ a trois racines réelles $r_1, r_2, r_3$ et deux racines conjuguées $z$, $\bar z$, toutes distinctes.

Une transposition. Le polynôme $P$, qui a cinq racines distinctes dans $L$, est séparable ; donc $L/\mathbb Q$ est galoisienne (Extensions galoisiennes, (a)). Soit $G = {\operatorname{Gal}}(L/\mathbb Q)$.

Tout élément de $G$ envoie une racine de $P$ sur une racine de $P$, et il est déterminé par la permutation des racines qu'il induit, puisqu'elles engendrent $L$ : $G$ s'identifie à un sous-groupe de $\mathfrak S_5$.

La conjugaison complexe est un automorphisme de $\mathbb C$ qui fixe $\mathbb R$ (Automorphismes) ; elle envoie les racines de $P$, polynôme à coefficients réels, sur des racines de $P$, donc $L$ sur $L$. Sa restriction à $L$ est un élément de $G$ qui fixe $r_1$, $r_2$, $r_3$ et échange $z$ et $\bar z$ : c'est une transposition.

Un élément d'ordre $5$. Le polynôme $P$, unitaire, irréductible et annulateur de $r_1$, en est le polynôme minimal, et $[\mathbb Q(r_1):\mathbb Q] = 5$ (Polynôme minimal, (i) et (ii)). Par multiplicativité (Extensions, degré), $5$ divise $[L:\mathbb Q] = |G|$ (Extensions galoisiennes, (b)), et $G$ contient un élément d'ordre $5$ par le théorème de Cauchy (Cauchy).

Conclusion. Par le lemme du nœud Engendrer 𝔖ₚ, $G = \mathfrak S_5$, qui n'est pas résoluble (𝔖ₙ non résoluble). Par le théorème de Galois (Résolubilité par radicaux), $P$ n'est pas résoluble par radicaux.