Une transposition et un p-cycle engendrent 𝔖ₚ

Soit $H$ un tel sous-groupe, $\tau = (a\ b)$ la transposition et $\sigma$ l'élément d'ordre $p$. Pour $m \in {\mathbb N}$, on a $\sigma^m = \mathrm{id}$ si et seulement si $p$ divise $m$ (Groupes cycliques, (i)).

Un élément d'ordre $p$ de $\mathfrak S_p$ est un $p$-cycle. Pour $i \in \{1, \dots, p\}$, soit $k_i$ le plus petit entier $k \geqslant 1$ tel que $\sigma^k(i) = i$, qui existe puisque $\sigma^p = \mathrm{id}$. En divisant $p$ par $k_i$, $p = k_iq + r$ avec $0 \leqslant r < k_i$, on obtient $\sigma^r(i) = i$, donc $r = 0$ par minimalité : $k_i$ divise $p$, et vaut $1$ ou $p$. Les $k_i$ ne valent pas tous $1$, sans quoi $\sigma = \mathrm{id}$.

Si $k_i = p$, les éléments $i, \sigma(i), \dots, \sigma^{p-1}(i)$ sont deux à deux distincts, puisque $\sigma^u(i) = \sigma^v(i)$ avec $0 \leqslant u < v < p$ donnerait $\sigma^{v-u}(i) = i$ ; ce sont donc tous les éléments de $\{1, \dots, p\}$, et $\sigma$ envoie chacun sur le suivant et le dernier sur $i$ : c'est le $p$-cycle $(i\ \ \sigma(i)\ \cdots\ \sigma^{p-1}(i))$.

Renumérotation. L'orbite de $a$ sous $\sigma$ est donc tout $\{1, \dots, p\}$, et $b = \sigma^k(a)$ pour un $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant p - 1$. L'élément $\sigma^k$ est encore d'ordre $p$ : si $(\sigma^k)^j = \mathrm{id}$, alors $p$ divise $kj$, donc $j$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers), puisque $p$ ne divise pas $k$. C'est donc un $p$-cycle qui envoie $a$ sur $b$.

Numérotons les éléments $a = 1$, $b = 2$, puis $\sigma^k(b) = 3$, et ainsi de suite : $H$ contient $\tau = (1\ 2)$ et $\rho = (1\ 2\ \cdots\ p)$, qui envoie $j$ sur $j + 1$ pour $j < p$ et $p$ sur $1$.

Toutes les transpositions. Pour une permutation $\rho$ et une transposition $(u\ v)$, on a $\rho\,(u\ v)\,\rho^{-1} = (\rho(u)\ \rho(v))$, comme on le vérifie en $\rho(u)$, en $\rho(v)$ et aux autres points. Ainsi $\rho^j\tau\rho^{-j} = (1{+}j\ \ 2{+}j)$ appartient à $H$ pour $0 \leqslant j \leqslant p - 2$ : ce sont toutes les transpositions $(i\ \ i{+}1)$.

Par la même formule, $$(j{-}1\ \ j)\,(i\ \ j{-}1)\,(j{-}1\ \ j) = (i\ \ j)$$ pour $i < j - 1$ ; par récurrence sur $j - i$, $H$ contient toutes les transpositions.

Toute permutation étant un produit de transpositions (Permutations, signature, (i)), $H = \mathfrak S_p$.