Continuité des fonctions monotones

Quitte à remplacer $g$ par $-g$, supposons $g$ croissante. Soit $b \in J$ et $\varepsilon > 0$ ; on cherche $\delta > 0$ tel que $|g(t) - g(b)| < \varepsilon$ pour tout $t \in J$ vérifiant $|t - b| < \delta$. Si $J = \{b\}$, il n'y a rien à démontrer.

À droite de $b$. Supposons que $b$ ne soit pas l'extrémité droite de $J$. L'ensemble $\{g(x) : x \in J,\ x > b\}$ est non vide et minoré par $g(b)$ ; soit $\ell$ sa borne inférieure, de sorte que $\ell \geqslant g(b)$.

Si l'on avait $\ell > g(b)$, aucune valeur de $g$ ne serait dans $]g(b), \ell[$ : les points $x \leqslant b$ ont une image $\leqslant g(b)$, et les points $x > b$ une image $\geqslant \ell$. Mais $g(b)$ et $g(x)$, pour un $x > b$ de $J$, appartiennent à l'intervalle $g(J)$, qui contiendrait alors $]g(b), \ell[$. Donc $\ell = g(b)$.

Par définition de la borne inférieure, il existe $x_0 > b$ dans $J$ tel que $g(x_0) < g(b) + \varepsilon$, et pour $t \in J$ avec $b \leqslant t < x_0$, on a $g(b) \leqslant g(t) \leqslant g(x_0) < g(b) + \varepsilon$.

À gauche de $b$. De même, si $b$ n'est pas l'extrémité gauche de $J$, la borne supérieure de $\{g(x) : x \in J,\ x < b\}$ est égale à $g(b)$, et il existe $x_1 < b$ dans $J$ tel que $g(b) - \varepsilon < g(t) \leqslant g(b)$ pour $t \in J$ avec $x_1 < t \leqslant b$.

Conclusion. Soit $\delta$ le minimum de $x_0 - b$ et de $b - x_1$, parmi ceux de ces deux nombres qui sont définis ; l'un au moins l'est, puisque $J$ n'est pas réduit à $\{b\}$. Un point $t \in J$ tel que $|t - b| < \delta$ vérifie $x_1 < t < x_0$, l'inégalité dont la borne n'est pas définie étant remplacée par $t \leqslant b$ ou $t \geqslant b$, puisque $b$ est alors une extrémité de $J$. Dans tous les cas $|g(t) - g(b)| < \varepsilon$ : la fonction $g$ est continue en $b$ (Continuité en un point).