Théorème 2Stabilité des équilibres

Théorème de stabilité de Liapounov

On garde les notations du nœud Équilibres : $X : U \to {\mathbb R^n}$ est de classe $C^1$ , $\varphi$ est son flot, et $\mathbb R^n$ est muni d'une norme $\|\cdot\|$ . Soit $W \subset U$ un ouvert et $V : W \to {\mathbb R}$ de classe $C^1$ . La dérivée de $V$ le long du champ est la fonction continue $\dot V(x) = dV(x)\big(X(x)\big), \qquad x \in W.$

Si $a \in W$ est un équilibre, $V$ est une fonction de Liapounov pour $a$ si $V(a) = 0$ , si $V(x) > 0$ pour $x \in W \setminus \{a\}$ , et si $\dot V(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in W$ . Elle est stricte si de plus $\dot V(x) < 0$ pour $x \in W \setminus \{a\}$ .

Énoncé

(i) Soit $x \in W$ et $J$ un intervalle contenu dans $]\alpha(x), \beta(x)[$ sur lequel $\varphi_t(x) \in W$ . La fonction $t \mapsto V(\varphi_t(x))$ est dérivable sur $J$ , de dérivée $\dot V(\varphi_t(x))$ .

(ii) Stabilité. S'il existe une fonction de Liapounov pour $a$ , l'équilibre $a$ est stable. Plus précisément, si $r > 0$ est tel que la boule fermée $\bar B(a, r)$ soit contenue dans $W$ , le minimum $m$ de $V$ sur la sphère $S(a, r) = \{x : \|x - a\| = r\}$ est strictement positif, et toute courbe intégrale issue d'un point $x \in B(a, r)$ tel que $V(x) < m$ est définie sur $[0, +\infty[$ et reste dans $B(a, r)$ .

(iii) Stabilité asymptotique. S'il existe une fonction de Liapounov stricte pour $a$ , l'équilibre $a$ est asymptotiquement stable ; avec les notations de (ii), toute courbe intégrale issue d'un point $x \in B(a, r)$ tel que $V(x) < m$ tend vers $a$ .

Démonstration

(i) La fonction $t \mapsto \varphi_t(x)$ est dérivable, de dérivée $X(\varphi_t(x))$ , et $V$ est différentiable : la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)) donne la dérivée $dV(\varphi_t(x))\big(X(\varphi_t(x))\big)$ .

(ii) Le minimum $m$ . La sphère $S(a, r)$ est fermée et bornée, et non vide puisqu'elle contient $a + \frac{r}{\|e_1\|}e_1$ ; elle est compacte (Normes en dimension finie, (ii)). Elle est contenue dans $W \setminus \{a\}$ , où $V$ est continue et strictement positive : son minimum $m$ est atteint (Compacts de ℝ, (iii)), et $m > 0$ .

La courbe ne sort pas. Soit $x \in B(a, r)$ tel que $V(x) < m$ , et supposons qu'il existe $t \in [0, \beta(x)[$ tel que $\|\varphi_t(x) - a\| \geqslant r$ . L'ensemble de ces $t$ est fermé dans $[0, \beta(x)[$ , par continuité ; sa borne inférieure $\tau$ lui appartient donc, et $\tau > 0$ puisque $\|x - a\| < r$ . Pour $s < \tau$ , on a $\|\varphi_s(x) - a\| < r$ ; par continuité, $\|\varphi_\tau(x) - a\| = r$ .

Sur $[0, \tau]$ , la courbe reste dans $\bar B(a, r) \subset W$ ; par (i), $g(s) = V(\varphi_s(x))$ y a une dérivée $\dot V(\varphi_s(x)) \leqslant 0$ , et décroît (Signe de la dérivée). D'où $g(\tau) \leqslant V(x) < m$ , alors que $\varphi_\tau(x) \in S(a, r)$ impose $g(\tau) \geqslant m$ : c'est absurde.

La courbe reste donc dans $B(a, r)$ sur $[0, \beta(x)[$ , et en particulier dans le compact $\bar B(a, r)$ de $U$ . Le nœud Sortie des compacts, (iii), interdit alors $\beta(x) < +\infty$ .

Stabilité. Soit $\varepsilon > 0$ . L'ouvert $W$ contient une boule $B(a, r_0)$ ; posons $r = \min(\varepsilon, \frac{r_0}2)$ , de sorte que $\bar B(a, r) \subset W$ . Comme $V$ est continue en $a$ et nulle en $a$ , il existe $\delta \in \,]0, r]$ tel que $V(x) < m$ pour $\|x - a\| < \delta$ . Toute courbe issue d'un tel $x$ est définie sur $[0, +\infty[$ et reste dans $B(a, r) \subset B(a, \varepsilon)$ .

(iii) L'équilibre est stable par (ii). Soit $x \in B(a, r)$ tel que $V(x) < m$ ; la courbe issue de $x$ reste dans $B(a, r)$ , et $g(t) = V(\varphi_t(x))$ est décroissante et positive sur $[0, +\infty[$ . Soit $\ell \geqslant 0$ sa borne inférieure ; pour tout $\varepsilon' > 0$ , il existe $T$ tel que $g(T) < \ell + \varepsilon'$ , et alors $\ell \leqslant g(t) < \ell + \varepsilon'$ pour $t \geqslant T$ : $g$ tend vers $\ell$ .

La limite est nulle. Supposons $\ell > 0$ . Par continuité de $V$ en $a$ , il existe $\rho \in \,]0, r[$ tel que $V < \ell$ sur $B(a, \rho)$ . Comme $g \geqslant \ell$ , la courbe reste dans $K = \{y : \rho \leqslant \|y - a\| \leqslant r\}$ , compact et contenu dans $W \setminus \{a\}$ .

La fonction continue $-\dot V$ y est strictement positive, et atteint un minimum $c > 0$ . Alors $g' \leqslant -c$ , la fonction $g + ct$ décroît, et $g(t) \leqslant g(0) - ct$ est strictement négatif pour $t > g(0)/c$ : c'est absurde. Donc $\ell = 0$ .

Convergence. Soit $\eta \in \,]0, r[$ , et $m_\eta > 0$ le minimum de $V$ sur le compact $\{y : \eta \leqslant \|y - a\| \leqslant r\}$ . Il existe $T$ tel que $g(t) < m_\eta$ pour $t \geqslant T$ ; pour ces $t$ , $\varphi_t(x)$ est dans $B(a, r)$ mais pas dans ce compact, donc $\|\varphi_t(x) - a\| < \eta$ . Ainsi $\varphi_t(x) \to a$ , et le nombre $\delta$ de (ii) convient dans la définition de l'attractivité.

□

Remarque

On peut voir $V$ comme une altitude, ou une énergie : la condition $\dot V \leqslant 0$ dit que les trajectoires ne remontent jamais. Une trajectoire partie sous le niveau $m$ , qui est l'altitude la plus basse du bord de la boule, ne peut donc pas atteindre ce bord.

Remarque

Pour le champ $X(x, y) = (-y - x^3,\ x - y^3)$ et $V(x, y) = x^2 + y^2$ , on trouve $\dot V = 2x(-y - x^3) + 2y(x - y^3) = -2(x^4 + y^4)$ : $V$ est une fonction de Liapounov stricte pour $0$ , qui est asymptotiquement stable.

Pour la norme

\|\cdot\|_\infty

r = 1

, la sphère

S(a, r)

est le carré noir, et le minimum de

V

sur ce carré est

m = 1

, atteint au milieu des côtés. L'ensemble

V < m

est le disque ouvert bordé de rouge, qui contient le carré bleu

B(a, \delta)

pour

\delta = \frac{1}{\sqrt2}

. La trajectoire verte, issue d'un point

x

de ce carré, traverse les cercles

V =

constante vers l'intérieur et ne peut pas sortir du disque.

La décroissance est lente : comme $\frac{(x^2 + y^2)^2}2 \leqslant x^4 + y^4 \leqslant (x^2 + y^2)^2$ , on a $-2V^2 \leqslant \dot V \leqslant -V^2$ , donc $1 \leqslant (1/V)' \leqslant 2$ et $\frac{V_0}{1 + 2V_0t} \leqslant V(t) \leqslant \frac{V_0}{1 + V_0t}.$ Pour $V_0 = 1$ et $t = 200$ , l'intégration numérique donne $V \approx 0{,}0033$ , entre $0{,}0025$ et $0{,}0050$ : la convergence n'est pas exponentielle, contrairement à celle du nœud Systèmes linéaires stables.

Remarque

L'hypothèse que $V$ est strictement positive hors de $a$ ne peut pas être omise. Pour $y' = y$ sur $\mathbb R$ , la fonction $V(y) = -y^2$ est nulle en $0$ et vérifie $\dot V = -2y^2 \leqslant 0$ , alors que l'équilibre $0$ est instable. Une fonction qui décroît le long des trajectoires ne dit rien si elle n'a pas de minimum strict en $a$ .

Remarque

Ce théorème est ce que l'on appelle la seconde méthode, ou méthode directe, de Liapounov : elle conclut sans résoudre l'équation, à partir de la seule fonction $V$ . Elle est exposée dans la thèse de 1892 citée au nœud Équilibres, dont la traduction française a paru à Toulouse en 1907.

Repose sur

Équilibres, stabilité et stabilité asymptotique

Sert à

Fonction de Liapounov quadratique et équation de Liapounov Ensembles ω-limites et principe d'invariance de LaSalle