Stabilité de l'origine pour un système linéaire à coefficients constants

(i) Soit $\eta = \gamma - \mu(A) > 0$, et $R$ fournie par Trigonalisation sur ℂ, (iii) : $R^{-1}AR = D + N$, où les coefficients diagonaux $d_k$ de $D$ sont des valeurs propres de $A$, donc vérifient $\operatorname{Re} d_k \leqslant \mu(A)$, et où $|\langle z', Nz \rangle| \leqslant \eta|z'||z|$.

Coordonnées complexes. Soit $y_0 \in \mathbb R^n$, $y(t) = e^{tA}y_0$, et $w(t) = R^{-1}y(t) \in \mathbb C^n$. Chaque $w_k$ est une combinaison linéaire à coefficients complexes constants des $y_l$ : ses parties réelle et imaginaire sont dérivables, et $$w' = R^{-1}Ay = R^{-1}AR\,w = (D + N)w.$$

Croissance de $|w|^2$. Posons $h(t) = |w(t)|^2$. Pour $w_k = u_k + iv_k$, la dérivée de $|w_k|^2 = u_k^2 + v_k^2$ est $2(u_ku_k' + v_kv_k') = 2\operatorname{Re}(\bar w_k w_k')$ ; d'où $$h' = 2\operatorname{Re}\langle w, Dw \rangle + 2\operatorname{Re}\langle w, Nw \rangle.$$ Le premier terme vaut $2\sum_k \operatorname{Re}(d_k)|w_k|^2 \leqslant 2\mu(A)h$, le second est au plus $2\eta h$, et $h' \leqslant 2\gamma h$.

La fonction $he^{-2\gamma t}$ a donc une dérivée négative ; elle décroît (Signe de la dérivée), et $h(t) \leqslant e^{2\gamma t}h(0)$ pour $t \geqslant 0$.

Retour à $\|\cdot\|$. Soit $\rho$ et $\rho'$ les plus grandes sommes $\sum_l |r_{kl}|$ et $\sum_l |r'_{kl}|$ sur les lignes de $R$ et de $R^{-1} = (r'_{kl})$. Comme $|w_l| \leqslant |w|$, on a $|y_k| \leqslant \sum_l |r_{kl}||w_l| \leqslant \rho|w|$ ; et $|w_k| \leqslant \rho'\|y\|$, d'où $|w|^2 \leqslant n\rho'^2\|y\|^2$. Il vient $$\|y(t)\| \leqslant \rho\sqrt{h(t)} \leqslant \rho\rho'\sqrt n\, e^{\gamma t}\|y_0\|,$$ et $C = \max(1, \rho\rho'\sqrt n)$ convient.

(ii) Si $\mu(A) < 0$. Pour $\beta \in \,]0, -\mu(A)[$, le point (i) avec $\gamma = -\beta$ donne $\|e^{tA}y\| \leqslant Ce^{-\beta t}\|y\| \leqslant C\|y\|$. L'origine est stable, avec $\delta = \varepsilon/C$, et attractive, toute solution tendant vers $0$.

Si $\mu(A) \geqslant 0$. Soit $\lambda = a + ib$ une valeur propre complexe telle que $a = \mu(A) \geqslant 0$, et $v \in \mathbb C^n$ non nul tel que $Av = \lambda v$. Quitte à remplacer $v$ par $-iv$, qui est encore un vecteur propre, on peut supposer que sa partie réelle $p$ n'est pas nulle ; notons $q$ sa partie imaginaire.

La fonction $z(t) = \exp(\lambda t)v$ est dérivable, de dérivée $\lambda z$ : pour $\lambda \neq 0$, le taux d'accroissement $\frac{\exp(\lambda(t + s)) - \exp(\lambda t)}{s}$ vaut $\lambda\exp(\lambda t)\,\frac{\exp(\lambda s) - 1}{\lambda s}$, qui tend vers $\lambda\exp(\lambda t)$ (Exponentielle, (i) et (ii)) ; pour $\lambda = 0$, $z$ est constante. Donc $z' = \lambda z = Az$, et, $A$ étant réelle, $y = \operatorname{Re} z$ vérifie $y' = Ay$, avec $y(0) = p$ et $$y(t) = e^{at}\big(\cos(bt)\,p - \sin(bt)\,q\big).$$

Posons $t_k = k$ si $b = 0$, et $t_k = \frac{2\pi k}{|b|}$ sinon, pour $k \in \mathbb N$. Comme $\exp(2i\pi k) = 1$ (Le nombre π, (ii)), on a $\cos(bt_k) = 1$ et $\sin(bt_k) = 0$, donc $y(t_k) = e^{at_k}p$ et $\|y(t_k)\| \geqslant \|p\| > 0$.

Pour $s > 0$, la solution issue de $sp$ est $sy$, qui ne tend pas vers $0$ puisque $\|sy(t_k)\| \geqslant s\|p\|$ et que $t_k \to +\infty$. Le point $sp$ est aussi proche de $0$ qu'on veut : l'origine n'est pas attractive.

(iii) Si $\mu(A) > 0$, la même construction donne $\|sy(t_k)\| = se^{at_k}\|p\|$, qui tend vers $+\infty$ : la solution issue de $sp$ n'est pas bornée, et, pour $\varepsilon = 1$, aucun $\delta$ ne convient dans la définition de la stabilité.