Valeurs propres complexes et trigonalisation sur ℂ

(i) Notons $\delta_{ij} = 1$ si $i = j$ et $0$ sinon, et posons $$\chi_B = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n \big(\delta_{\sigma(j)j}X - b_{\sigma(j)j}\big).$$ L'évaluation en $\lambda$ est un morphisme d'anneaux (Évaluation, (i)) ; elle donne la formule du déterminant de $\lambda I - B$ (Déterminant d'une matrice), d'où $\chi_B(\lambda) = \det(\lambda I - B)$.

Pour $\sigma = \mathrm{id}$, le produit est $\prod_j (X - b_{jj})$, unitaire de degré $n$ (L'anneau A[X], (ii)). Pour $\sigma \neq \mathrm{id}$, un indice $j$ vérifie $\sigma(j) \neq j$ ; le facteur correspondant est constant, et le produit, de $n$ facteurs de degré au plus $1$ dont l'un est constant, est de degré au plus $n - 1$. Le coefficient de $X^n$ dans $\chi_B$ est donc $1$, et les autres termes sont de degré au plus $n - 1$ : $\chi_B$ est unitaire de degré $n$.

Par le théorème de d'Alembert-Gauss (Liouville, d'Alembert-Gauss, (ii)), le polynôme non constant $\chi_B$ a une racine. Enfin, $\det(B - \lambda I) = (-1)^n\det(\lambda I - B)$, par la multilinéarité par rapport aux lignes (Déterminant d'une matrice, (iii)), et $\lambda$ est valeur propre si et seulement si ce déterminant est nul (Valeurs propres, (i), avec Déterminant d'une matrice, (i)) ; les valeurs propres sont au plus $n$ (même nœud, (ii)).

(ii) Matrices triangulaires. Si $T$ est triangulaire supérieure, un produit $\prod_j t_{\sigma(j)j}$ non nul demande $\sigma(j) \leqslant j$ pour tout $j$. Par récurrence sur $j$, cela impose $\sigma(j) = j$ : $\sigma(1) \leqslant 1$, et si $\sigma(i) = i$ pour $i < j$, l'injectivité interdit $\sigma(j) < j$. Seule l'identité contribue, et $$\det(\lambda I - T) = \prod_{j=1}^n (\lambda - t_{jj}).$$ Comme $\det(\lambda I - P^{-1}BP) = \det\big(P^{-1}(\lambda I - B)P\big) = \det(\lambda I - B)$ (Déterminant d'une matrice, (ii)), les valeurs propres de $B$ sont exactement les $t_{jj}$ dès que $P^{-1}BP = T$.

Existence, par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, $P = I$ convient. Soit $n \geqslant 2$, l'énoncé étant acquis en dimension $n - 1$. Si $B$ a une valeur propre dans $\Lambda$, soit $\lambda_1$ l'une d'elles ; sinon, soit $\lambda_1$ une valeur propre quelconque, qui existe par (i).

Soit $v_1 \neq 0$ tel que $Bv_1 = \lambda_1 v_1$, complété en une base $(v_1, \dots, v_n)$ de $\mathbb C^n$ (Dimension, (iii)), et $Q$ la matrice de colonnes $v_1, \dots, v_n$, inversible puisque $z \mapsto Qz$ envoie la base canonique sur une base (Familles libres, bases, (iii)). Comme $BQe_1 = \lambda_1Qe_1$, la première colonne de $Q^{-1}BQ$ est $\lambda_1 e_1$, et $$Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \ell \\ 0 & B' \end{pmatrix},$$ avec $B' \in \mathcal M_{n-1}(\mathbb C)$ et $\ell$ une ligne.

En développant selon la première colonne (Comatrice), $\det(\lambda I - B) = (\lambda - \lambda_1)\det(\lambda I - B')$ : les valeurs propres de $B$ sont $\lambda_1$ et celles de $B'$. L'hypothèse de récurrence, appliquée à $B'$ et à $\Lambda$, fournit $P'$ inversible telle que $T' = P'^{-1}B'P'$ convienne.

La matrice $P = Q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & P' \end{pmatrix}$ est inversible, et le produit par blocs donne $$P^{-1}BP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \ell P' \\ 0 & T' \end{pmatrix},$$ triangulaire supérieure. Si $\lambda_1 \in \Lambda$, il vient en tête, suivi des coefficients de $T'$, rangés comme il faut. Si $\lambda_1 \notin \Lambda$, $B$ n'a aucune valeur propre dans $\Lambda$, ni donc $B'$, et aucun coefficient diagonal n'est dans $\Lambda$ : la condition d'ordre est vide.

(iii) Soit $T = P^{-1}BP$ comme en (ii), $m = \max_{i,j}|t_{ij}|$, $0 < \varepsilon \leqslant 1$, $S$ la matrice diagonale de coefficients $1, \varepsilon, \dots, \varepsilon^{n-1}$, et $R = PS$. Le coefficient $(i, j)$ de $R^{-1}BR = S^{-1}TS$ est $\varepsilon^{j-i}t_{ij}$.

Il est nul pour $i > j$, égal à $t_{ii}$ pour $i = j$, et de module au plus $\varepsilon m$ pour $i < j$, puisque $j - i \geqslant 1$. Ainsi $S^{-1}TS = D + N$, avec $D$ diagonale de coefficients $t_{ii}$ et $N$ strictement triangulaire supérieure, de coefficients de module au plus $\varepsilon m$.

Pour $z, z' \in \mathbb C^n$, comme $|z_j| \leqslant |z|$ et $|z'_i| \leqslant |z'|$, $$\begin{aligned} |\langle z', Nz \rangle| &\leqslant \sum_{i,j} |n_{ij}|\,|z'_i|\,|z_j| \\ &\leqslant \varepsilon m n^2\,|z'|\,|z|. \end{aligned}$$ Le choix $\varepsilon = \min\big(1, \frac{\eta}{1 + mn^2}\big)$ convient.