Fonction de Liapounov quadratique et équation de Liapounov

(i) Transposition. Les sommes partielles de $e^{s\,{}^tA}$ sont les transposées de celles de $e^{sA}$, puisque ${}^t(A^k) = ({}^tA)^k$ ; la transposition, linéaire en dimension finie, est continue (Normes en dimension finie, (iv)), et ${}^t(e^{sA}) = e^{s\,{}^tA}$. La matrice $M(s) = e^{s\,{}^tA}e^{sA} = {}^tE\,E$, où $E = e^{sA}$, est donc symétrique.

Majoration. Soit $\beta \in \,]0, -\mu(A)[$ et $C$ fourni par Systèmes linéaires stables, (ii). Chaque coefficient de $e^{sA}$ est majoré en module par $|||e^{sA}||| \leqslant Ce^{-\beta s}$, pour la norme subordonnée à $\|\cdot\|_\infty$, et $$|m_{ij}(s)| = \Big|\sum_k e_{ki}e_{kj}\Big| \leqslant nC^2e^{-2\beta s}.$$

Convergence. La fonction $m_{ij}$ est continue. Pour $0 \leqslant T \leqslant T'$, la croissance de l'intégrale (Propriétés de l'intégrale, (ii) et (iv)) et la primitive $-\frac{e^{-2\beta s}}{2\beta}$ (Convergence uniforme, (iv)) donnent $$\Big|\int_T^{T'} m_{ij}\Big| \leqslant \frac{nC^2}{2\beta}\,e^{-2\beta T}.$$ La suite $u_N = \int_0^N m_{ij}$ est donc de Cauchy ; elle converge vers un réel $p_{ij}$ (Complétude), et, en faisant tendre $T'$ vers l'infini parmi les entiers, $|\int_0^T m_{ij} - p_{ij}| \leqslant \frac{nC^2}{\beta}e^{-2\beta N}$ pour $T \geqslant N$. Ainsi $\int_0^T m_{ij} \to p_{ij}$, et $P = (p_{ij})$ est symétrique.

L'équation. La dérivée de $e^{sA}$ est $Ae^{sA} = e^{sA}A$, puisque $A$ commute avec les sommes partielles ; celle de $e^{s\,{}^tA}$ est ${}^tAe^{s\,{}^tA}$ (Systèmes linéaires, (ii)). La dérivée d'un produit se calculant coefficient par coefficient (Opérations), $$M'(s) = {}^tA\,M(s) + M(s)\,A,$$ qui est continue. Pour $T > 0$, notons $P_T = \int_0^T M$. Par linéarité de l'intégrale et par Convergence uniforme, (iv), $${}^tAP_T + P_TA = \int_0^T M' = M(T) - I.$$ Quand $T \to +\infty$, $P_T \to P$ et $M(T) \to 0$, d'où ${}^tAP + PA = -I$.

Positivité. Pour $x \in \mathbb R^n$, ${}^txM(s)x = \|e^{sA}x\|_2^2 \geqslant 0$, et ${}^txP_Tx = \int_0^T \|e^{sA}x\|_2^2\,ds$ croît avec $T$ ; donc ${}^txPx \geqslant \int_0^1 \|e^{sA}x\|_2^2\,ds$. Si $x \neq 0$, la fonction continue intégrée vaut $\|x\|_2^2 > 0$ en $0$ ; elle est au moins $\frac12\|x\|_2^2$ sur un segment $[0, s_0]$, avec $0 < s_0 \leqslant 1$, et ${}^txPx \geqslant \frac{s_0}2\|x\|_2^2 > 0$.

Unicité. Si $Q$ est une autre solution, $\Delta = P - Q$ vérifie ${}^tA\Delta + \Delta A = 0$. La fonction $G(s) = e^{s\,{}^tA}\Delta\,e^{sA}$ a pour dérivée $e^{s\,{}^tA}({}^tA\Delta + \Delta A)e^{sA} = 0$ ; elle est constante (Signe de la dérivée, (ii)), égale à $G(0) = \Delta$. Ses coefficients sont majorés par $n^2C^2e^{-2\beta s}\max_{i,j}|\delta_{ij}|$, qui tend vers $0$ : donc $\Delta = 0$.

(ii) La fonction $V(y) = \sum_{i,j} p_{ij}y_iy_j$ est polynomiale, donc de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (iii)) ; elle est nulle en $0$ et strictement positive ailleurs. Comme $(y, z) \mapsto {}^tyPz$ est bilinéaire et $P$ symétrique, $dV(y)k = 2\,{}^tyPk$ (Différentielle, (iii)). Le scalaire ${}^tyPAy$ étant égal à sa transposée ${}^ty\,{}^tAPy$, $$\begin{aligned} \dot V(y) &= 2\,{}^tyPAy \\ &= {}^ty({}^tAP + PA)y = -\|y\|_2^2. \end{aligned}$$

(iii) La fonction $V(y) = {}^tyPy$ est, comme en (ii), de classe $C^1$, strictement positive hors de $0$, et $\dot V(y) = {}^ty({}^tAP + PA)y < 0$ pour $y \neq 0$. C'est une fonction de Liapounov stricte sur $\mathbb R^n$ ; l'origine est asymptotiquement stable (Fonctions de Liapounov, (iii)), et $\mu(A) < 0$ par Systèmes linéaires stables, (ii).