Théorème 5Stabilité des équilibres

Stabilité par linéarisation

Soit $X : U \to {\mathbb R^n}$ de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ , $\varphi$ son flot, et $a \in U$ un équilibre. Soit $A = dX(a)$ , identifiée à la matrice jacobienne. Le système linéaire $h' = Ah$ est le système linéarisé de $X$ en $a$ .

On note $\mu(A)$ le plus grand des réels $\operatorname{Re}\lambda$ , $\lambda$ valeur propre complexe de $A$ (Systèmes linéaires stables). On munit $\mathbb R^n$ de $\|\cdot\|_\infty$ , notée $\|\cdot\|$ , et l'on note $\|h\|_2^2 = {}^thh$ .

Énoncé

(i) Équation variationnelle. Pour tout réel $t$ , $d\varphi_t(a) = e^{tA}$ .

(ii) Stabilité. Si $\mu(A) < 0$ , l'équilibre $a$ est asymptotiquement stable, et la convergence est exponentielle : il existe $\delta > 0$ , $C \geqslant 1$ et $\kappa > 0$ tels que, pour $\|x - a\| < \delta$ et $t \geqslant 0$ , $\|\varphi_t(x) - a\| \leqslant C\,e^{-\kappa t}\,\|x - a\|.$

Démonstration

(i) Comme $\varphi_s(a) = a$ (Équilibres, (i)), la courbe issue de $a$ est définie sur $\mathbb R$ , et l'équation variationnelle le long de cette courbe est $Z' = AZ$ , $Z(0) = I$ . La fonction $e^{sA}$ en est la solution (Systèmes linéaires, (ii)), unique colonne par colonne, et le nœud Équation variationnelle, (i), donne $d\varphi_t(a) = e^{tA}$ .

(ii) La fonction $V$ . Soit $P$ la solution de l'équation de Liapounov ${}^tAP + PA = -I$ (Équation de Liapounov, (i)), et $V(y) = {}^t(y - a)P(y - a)$ sur $U$ . Par la minoration des formes définies positives (Formes positives, (iv)), il existe $c_1 > 0$ tel que $V(y) \geqslant c_1\|y - a\|^2$ ; et $V(y) \leqslant c_2\|y - a\|^2$ pour $c_2 = \sum_{i,j}|p_{ij}|$ .

Sa dérivée. Comme au nœud Équation de Liapounov, (ii), $\dot V(y) = 2\,{}^thPX(y)$ avec $h = y - a$ . Par différentiabilité de $X$ en $a$ , où $X(a) = 0$ , on a $X(a + h) = Ah + \|h\|\,\varepsilon(h)$ , avec $\varepsilon(h) \to 0$ (Différentielle). Il vient $\dot V(y) = -\|h\|_2^2 + 2\|h\|\,{}^thP\varepsilon(h).$

On a $|{}^thP\varepsilon(h)| \leqslant c_2\|h\|\,\|\varepsilon(h)\|$ et $\|h\|_2^2 \geqslant \|h\|^2$ . Soit $r_0 > 0$ tel que $B(a, r_0) \subset U$ et $\|\varepsilon(h)\| \leqslant \frac{1}{4c_2}$ pour $\|h\| < r_0$ . Sur $W = B(a, r_0)$ , $\dot V(y) \leqslant -\tfrac12\|y - a\|^2 \leqslant -\frac{1}{2c_2}\,V(y).$ En particulier, $V$ est une fonction de Liapounov stricte pour $a$ sur $W$ , et $a$ est asymptotiquement stable (Fonctions de Liapounov, (iii)).

Vitesse. Soit $r = \frac{r_0}2$ , $m$ le minimum de $V$ sur la sphère $S(a, r)$ , et $\delta \in \,]0, r]$ tel que $c_2\delta^2 < m$ . Pour $\|x - a\| < \delta$ , on a $V(x) < m$ , et la courbe issue de $x$ reste dans $B(a, r) \subset W$ (Fonctions de Liapounov, (ii)).

La fonction $g(t) = V(\varphi_t(x))$ vérifie alors $g' \leqslant -\frac{g}{2c_2}$ ; $g\,e^{t/(2c_2)}$ décroît (Signe de la dérivée), et $\begin{aligned} c_1\|\varphi_t(x) - a\|^2 &\leqslant g(t) \\ &\leqslant c_2\|x - a\|^2e^{-t/(2c_2)}. \end{aligned}$ On conclut avec $\kappa = \frac{1}{4c_2}$ et $C = \max\big(1, \sqrt{c_2/c_1}\big)$ .

□

Remarque

Le point (i) explique le théorème : près de $a$ , $\varphi_t(x) - a$ est approché par $e^{tA}(x - a)$ , et la décroissance exponentielle du linéarisé se transmet au système. Mais l'approximation ne vaut qu'à $t$ fixé ; c'est la fonction de Liapounov du linéarisé, encore valable pour le champ non linéaire au voisinage de $a$ , qui la rend uniforme sur $[0, +\infty[$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de conclure quand $\mu(A) = 0$ . Les champs $(-y - x^3,\ x - y^3)$ et $(-y + x^3,\ x + y^3)$ ont le même linéarisé en $0$ , la rotation $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Pour le premier, $V = x^2 + y^2$ décroît, et $0$ est asymptotiquement stable (Fonctions de Liapounov) ; pour le second, $\dot V = 2(x^4 + y^4) \geqslant V^2$ , donc $(1/V)' \leqslant -1$ le long d'une trajectoire issue de $x \neq 0$ , et $V$ explose avant l'instant $1/V(x)$ , si bien que $0$ est instable. Le linéarisé ne voit pas les termes cubiques qui décident.

Remarque

La vitesse $\kappa$ obtenue est médiocre. En reprenant la démonstration du nœud Systèmes linéaires stables, (i), avec la quantité $|R^{-1}(y - a)|^2$ à la place de $V$ , on obtient l'estimation pour tout $\kappa < -\mu(A)$ ; on ne le détaille pas ici. Le reste $\|h\|\,\varepsilon(h)$ ne fait qu'ajouter à $\eta$ un terme qui tend vers $0$ avec $h$ , comme dans la preuve du nœud Instabilité.

Remarque

Ce critère est connu comme le théorème de stabilité « en première approximation » de Liapounov, dont la thèse de 1892 est citée au nœud Équilibres. La démonstration donnée ici, par une fonction de Liapounov quadratique, relève de la seconde méthode du nœud Fonctions de Liapounov.

Repose sur

Fonction de Liapounov quadratique et équation de Liapounov Différentiabilité du flot et équation variationnelle

Sert à

Instabilité par linéarisation