Proposition 1Stabilité des équilibres

Le pendule amorti

Le pendule amorti est l'équation $\theta'' + k\theta' + \sin\theta = 0$ , avec $k \geqslant 0$ . Il s'écrit comme le système autonome $y' = X(y)$ sur ${\mathbb R^2}$ , pour $y = (\theta, v)$ , avec $X(\theta, v) = (v,\ -\sin\theta - kv),$ champ de classe $C^1$ , ses dérivées partielles étant continues (Exponentielle, (iv) ; Classe Cᵏ, (i)). Son énergie est $E(\theta, v) = \frac{v^2}2 + 1 - \cos\theta.$

Énoncé

(i) Les équilibres sont les points $(j\pi, 0)$ , $j \in \mathbb Z$ , et $\dot E(\theta, v) = -kv^2$ .

(ii) Si $k > 0$ , toute courbe intégrale issue d'un point $(\theta, v)$ tel que $|\theta| < \pi$ et $E(\theta, v) < 2$ tend vers $(0, 0)$ . L'équilibre $(0, 0)$ est asymptotiquement stable, et la convergence est exponentielle.

(iii) Si $k = 0$ , l'équilibre $(0, 0)$ est stable, mais pas asymptotiquement stable.

(iv) Pour tout $k \geqslant 0$ , l'équilibre $(\pi, 0)$ est instable.

Démonstration

(i) $X(\theta, v) = 0$ équivaut à $v = 0$ et $\sin\theta = 0$ . Comme $\cos^2 + \sin^2 = 1$ , $\sin\theta = 0$ équivaut à $\exp(i\theta) = \pm1$ , donc à $\exp(2i\theta) = 1$ , c'est-à-dire à $\theta \in \pi\mathbb Z$ (Le nombre π, (ii)). Les dérivées partielles de $E$ sont $\sin\theta$ et $v$ , d'où $\dot E = v\sin\theta + v(-\sin\theta - kv) = -kv^2.$

Une fonction de Liapounov. Sur $W = \,]{-\pi}, \pi[ \times \mathbb R$ , $E$ est nulle en $(0, 0)$ et strictement positive ailleurs : $1 - \cos\theta \geqslant 0$ , avec égalité seulement si $\cos\theta = 1$ , donc $\sin\theta = 0$ et $\exp(i\theta) = 1$ , c'est-à-dire $\theta \in 2\pi\mathbb Z$ , soit $\theta = 0$ sur $]{-\pi}, \pi[$ . Comme $\dot E \leqslant 0$ , $E$ est une fonction de Liapounov pour $(0, 0)$ sur $W$ .

(ii) Un compact positivement invariant. Soit $x = (\theta_0, v_0)$ avec $|\theta_0| < \pi$ et $c = E(x) < 2$ , et $K = \{(\theta, v) : |\theta| \leqslant \pi,\ E(\theta, v) \leqslant c\}$ . C'est un fermé, borné puisque $v^2 \leqslant 2c$ , donc un compact (L'espace ℝⁿ, (iii)) ; il est contenu dans $W$ , puisque $E \geqslant 1 - \cos\pi = 2 > c$ quand $|\theta| = \pi$ .

La fonction $E(\varphi_t(x))$ décroît (Fonctions de Liapounov, (i), avec $W = \mathbb R^2$ ), donc reste au plus $c$ . Si la première coordonnée $\theta(t)$ atteignait $\pm\pi$ , ce serait, par le théorème des valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires), en un instant où $E \geqslant 2 > c$ : la courbe reste dans $K$ .

LaSalle. Le principe d'invariance s'applique à $E$ , à $W$ et à $K$ (Principe de LaSalle, (iii)), avec $\{y \in K : \dot E(y) = 0\} = \{(\theta, 0) \in K\}$ . Si la courbe issue d'un point $y$ y reste pour $s \geqslant 0$ , sa vitesse $v(s)$ est constamment nulle, donc $v' = -\sin\theta(s) = 0$ ; comme $|\theta(s)| < \pi$ , $\theta(s) = 0$ , et $y = (0, 0)$ . Ainsi $\varphi_t(x) \to (0, 0)$ .

Stabilité asymptotique. L'équilibre est stable (Fonctions de Liapounov, (ii)). Comme $E$ est continue et nulle en $(0, 0)$ , il existe $\eta \in \,]0, \pi[$ tel que $E < 2$ sur la boule $B((0, 0), \eta)$ : tous ses points sont attirés.

Vitesse. La matrice jacobienne en $(0, 0)$ est $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -k \end{pmatrix}$ , et $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 + k\lambda + 1$ . Pour $k < 2$ , les racines sont $\frac{-k \pm i\sqrt{4 - k^2}}2$ , de partie réelle $-\frac k2$ ; pour $k \geqslant 2$ , ce sont $\frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}2$ , toutes deux strictement négatives. Donc $\mu(A) < 0$ , et la convergence est exponentielle (Linéarisation, (ii)).

(iii) Pour $k = 0$ , $E$ est une fonction de Liapounov, et $(0, 0)$ est stable. Comme $\dot E = 0$ , $E$ est constante le long des trajectoires (Signe de la dérivée, (ii)). Pour $x \in W$ différent de $(0, 0)$ , on a $E(\varphi_t(x)) = E(x) > 0$ , alors que $\varphi_t(x) \to (0, 0)$ imposerait $E(\varphi_t(x)) \to 0$ par continuité : l'équilibre n'est pas attractif.

(iv) En $(\pi, 0)$ , la matrice jacobienne est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -k \end{pmatrix}$ , puisque $-\cos\pi = 1$ . Son polynôme $\lambda^2 + k\lambda - 1$ a la racine $\frac{-k + \sqrt{k^2 + 4}}2 > 0$ , puisque $\sqrt{k^2 + 4} > k$ , et le nœud Instabilité conclut.

□

Remarque

Pour $k = 0{,}4$ , les valeurs propres en $(0, 0)$ sont $-0{,}2 \pm 0{,}980\,i$ : le pendule oscille avec une pseudo-période voisine de $2\pi/0{,}98 \approx 6{,}4$ , et son amplitude décroît comme $e^{-0{,}2t}$ . En $(\pi, 0)$ , la valeur propre positive vaut environ $0{,}820$ .

Dans le plan

(\theta, v)

, les courbes grises sont des niveaux de l'énergie

E

, et le niveau

E = 2

, en tirets, passe par les équilibres instables

(\pm\pi, 0)

, marqués de cercles creux de la couleur du texte. Les deux trajectoires, rouge et bleue, calculées par intégration numérique pour

k = 0{,}4

, traversent les niveaux vers le bas en spiralant vers

(0, 0)

; la bleue part même au-dessus du niveau

2

sans franchir

\theta = \pm\pi

, cas que le point (ii) ne couvre pas.

L'énergie décroît le long des trajectoires, mais seulement au sens large : elle stationne aux instants où la vitesse s'annule, aux extrémités des oscillations. C'est pourquoi le théorème de Liapounov sous sa forme stricte ne s'applique pas à $E$ , et pourquoi le principe d'invariance est nécessaire.

Remarque

Pour un frottement non linéaire, $\theta'' + \theta'^3 + \sin\theta = 0$ , la même énergie vérifie $\dot E = -v^4$ , et la démonstration de la convergence en (ii), hors la vitesse exponentielle, s'applique mot pour mot. Le linéarisé en $(0, 0)$ est alors la rotation $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , dont les valeurs propres $\pm i$ sont de partie réelle nulle : seul le principe d'invariance conclut.

Remarque

La divergence du champ vaut $-k$ : par le théorème de Liouville (Conservation du volume), le flot du pendule amorti multiplie les aires par $e^{-kt}$ , alors que celui du pendule sans frottement les conserve. C'est cohérent avec (iii) : un flot qui conserve les aires n'a pas d'équilibre asymptotiquement stable. Si l'équilibre $a$ attirait une boule $B$ , les parties $B_T$ de $B$ formées des points restés dans $B(a, \varepsilon)$ après l'instant $T$ croîtraient vers $B$ ; leurs images $\varphi_t(B_T)$ , pour $t \geqslant T$ , seraient contenues dans $B(a, \varepsilon)$ tout en gardant l'aire de $B_T$ , proche de celle de $B$ pour $T$ grand, ce qui est impossible dès que $B(a, \varepsilon)$ a une aire plus petite que $B$ .

Remarque

L'oscillateur de van der Pol, $x'' - \epsilon(1 - x^2)x' + x = 0$ avec $\epsilon > 0$ , montre l'autre visage du frottement. Au voisinage de l'origine, le frottement est négatif : le linéarisé a pour polynôme $\lambda^2 - \epsilon\lambda + 1$ , dont les racines ont une partie réelle $\frac\epsilon2 > 0$ pour $\epsilon < 2$ , positive aussi pour $\epsilon \geqslant 2$ , et l'origine est instable. Les trajectoires s'enroulent vers une orbite périodique, dont l'existence est admise ici ; pour $\epsilon = 1$ , l'intégration numérique, qu'on parte de $(0{,}01, 0)$ ou de $(4, 0)$ , donne une amplitude limite de $2{,}0086$ .

Remarque

Pour le système proie-prédateur de Lotka-Volterra, $x' = x(\alpha - \beta y)$ et $y' = y(\delta x - \gamma)$ sur $]0, +\infty[^2$ , avec $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ , l'équilibre $(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta)$ a pour linéarisé une matrice de valeurs propres $\pm i\sqrt{\alpha\gamma}$ : la linéarisation ne décide rien. La fonction $H = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$ vérifie $\dot H = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0$ , et $H - H(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta)$ est une fonction de Liapounov, chaque terme ayant un minimum strict à l'équilibre. L'équilibre est donc stable, sans être asymptotiquement stable, puisque $H$ est constante sur les trajectoires, comme l'énergie au point (iii) du pendule sans frottement.

Repose sur

Ensembles ω-limites et principe d'invariance de LaSalle Instabilité par linéarisation

Sert à

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