Théorème 8Probabilités

Lois de Poisson et loi exponentielle

Comme au nœud Variables aléatoires, une probabilité $\mu$ sur ${\mathbb R}$ a pour densité une fonction borélienne $f \geqslant 0$ telle que $\int_{\mathbb R} f(x)\,dx = 1$ si $\mu(B) = \int_B f(x)\,dx$ pour tout borélien $B$ . Réciproquement, pour une telle $f$ , la formule définit bien une probabilité (Convergence monotone, (iii)).

La loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ est la loi sur ${\mathbb N}$ donnée par $P(X = k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ . La loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ a pour densité $\lambda e^{-\lambda x}\mathbf 1_{x \geqslant 0}$ .

Énoncé

(i) Pour tout réel $x$ , $(1 + x/n)^n \to e^x$ quand $n \to \infty$ .

(ii) La loi de Poisson est une probabilité, d'espérance et de variance $\lambda$ . Si $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\lambda/n$ , alors $P(S_n = k) \to e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ pour tout $k$ .

(iii) La loi exponentielle est une probabilité, de fonction de répartition $1 - e^{-\lambda x}$ sur $[0, +\infty[$ , et elle est sans mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ pour $s, t \geqslant 0$ .

(iv) Réciproquement, si $X$ est à valeurs dans $]0, +\infty[$ , sans mémoire, et $0 < P(X > 1) < 1$ , alors $X$ suit une loi exponentielle.

Démonstration

On note $e^x = \exp x$ , ce qui est licite par Puissances réelles, (ii).

(i) C'est le point (ii) du nœud Série de l'exponentielle.

(ii) Par Série de l'exponentielle, (i), la série $\sum_k \lambda^k/k!$ converge vers $e^\lambda$ , d'où $\sum_k e^{-\lambda}\lambda^k/k! = e^{-\lambda}e^\lambda = 1$ (Exponentielle, (iii)). De même $\sum_k k\,e^{-\lambda}\lambda^k/k! = \lambda$ et $\sum_k k(k-1)e^{-\lambda}\lambda^k/k! = \lambda^2$ , d'où $E[X^2] = \lambda^2 + \lambda$ et $\operatorname{Var} X = \lambda$ .

Pour la loi binomiale, $\begin{aligned} &P(S_n = k) \\ &= \frac{\lambda^k}{k!}\prod_{j<k}\frac{n - j}{n}\,\Big(1 - \frac\lambda n\Big)^{n-k} ; \end{aligned}$ le produit tend vers $1$ , $(1 - \lambda/n)^{-k}$ aussi, et $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ par (i).

(iii) La fonction $x \mapsto -e^{-\lambda x}$ a pour dérivée $\lambda e^{-\lambda x}$ ; par le théorème fondamental et la comparaison de Riemann et Lebesgue (Riemann et Lebesgue), $\int_{[0, T]} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1 - e^{-\lambda T},$ qui tend vers $1$ par convergence monotone, puisque $e^{-\lambda T} = 1/e^{\lambda T}$ et $e^{\lambda T} \geqslant 1 + \lambda T$ (Croissances comparées, (i)).

Donc $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ , et $P(X > s + t)/P(X > s) = e^{-\lambda t}$ par $\exp(a + b) = \exp a \exp b$ (Exponentielle, (iii)).

(iv) Posons $G(t) = P(X > t)$ , décroissante, continue à droite (Variables aléatoires), avec $G(s + t) = G(s)G(t)$ et $G(0) = 1$ . Soit $q = G(1) \in \,]0, 1[$ . Le logarithme étant la bijection réciproque de l'exponentielle (Exponentielle), le réel $\lambda = -\ln q$ est l'unique réel tel que $e^{-\lambda} = q$ , et il est strictement positif, puisque $\ln$ est strictement croissante et que $q < 1$ (Logarithme, (i)).

Par récurrence, $G(m) = q^m = e^{-\lambda m}$ , puis $G(m/n)^n = G(m)$ ; comme $(e^{-\lambda m/n})^n = e^{-\lambda m}$ et que la racine $n$ -ième positive est unique (Puissances réelles, (ii)), $G(m/n) = e^{-\lambda m/n}$ . Enfin $G$ et $t \mapsto e^{-\lambda t}$ sont continues à droite et coïncident sur les rationnels positifs, qui sont denses : elles sont égales sur $[0, +\infty[$ .

Comme $X > 0$ , $G = 1$ sur $]{-\infty}, 0[$ . La fonction de répartition $1 - G$ de $X$ vaut donc $1 - e^{-\lambda t}$ sur $[0, +\infty[$ et $0$ avant : c'est celle de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , par (iii), et la loi de $X$ est donc la loi exponentielle (Variables aléatoires, (i)).

□

Remarque

L'approximation de Poisson explique la fréquence de cette loi : elle compte les événements rares parmi de nombreuses épreuves indépendantes. Pour $n = 100$ et $\lambda = 2$ , la loi binomiale donne $0{,}1326$ , $0{,}2707$ , $0{,}2734$ , $0{,}1823$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ , et la loi de Poisson $0{,}1353$ , $0{,}2707$ , $0{,}2707$ , $0{,}1804$ .

Pour

k = 0, \dots, 8

, les bâtons comparent la loi binomiale de paramètres

10

0{,}2

, en vert, et celle de paramètres

100

0{,}02

, en bleu, toutes deux d'espérance

2

, à la loi de Poisson de paramètre

2

, en rouge. À espérance fixée, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson quand

n

augmente : pour

n = 100

, l'écart n'est plus visible.

Remarque

L'absence de mémoire caractérise les durées de vie sans vieillissement, comme celle d'un noyau radioactif : savoir qu'il n'est pas désintégré au temps $s$ ne change rien à la loi de ce qui lui reste à vivre. Elle est l'analogue continu de la loi géométrique du nœud Variables aléatoires.

Remarque

Une loi $\mu$ sur $\mathbb R$ a une densité si et seulement si elle ne charge aucun borélien de mesure de Lebesgue nulle : c'est le théorème de Radon-Nikodym, démontré en analyse fonctionnelle (Radon-Nikodym), et la densité est alors la dérivée de Radon-Nikodym de $\mu$ par rapport à la mesure de Lebesgue, unique presque partout. L'erreur la plus répandue est de croire qu'une loi sans atome a forcément une densité : une loi peut ne charger aucun point tout en vivant sur un ensemble négligeable. C'est le cas de la loi de Cantor, portée par l'ensemble de Cantor, que construit le nœud Loi de Cantor.

Remarque

La limite (i) s'obtient aussi par la théorie de la mesure. En développant par la formule du binôme, $\Big(1 + \frac xn\Big)^n = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\prod_{j<k}\Big(1 - \frac jn\Big) ;$ chaque terme tend vers $x^k/k!$ et est majoré en valeur absolue par $|x|^k/k!$ , terme d'une série convergente. Le théorème de convergence dominée pour la mesure de comptage sur $\mathbb N$ (Convergence dominée, (i)) donne la limite $\sum_k x^k/k!$ , qui est $e^x$ par Série de l'exponentielle, (i). La démonstration de l'analyse réelle, par le logarithme, est plus directe ; celle-ci montre que l'expression de $e^x$ comme limite de $(1 + x/n)^n$ se déduit de son expression comme somme d'une série.

Repose sur

Espérance, variance et inégalités

Sert à

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