Proposition 5Représentations des groupes finis

La table des caractères de 𝔖₄

Pour des éléments distincts $a, b, c, d$ de $\{1, 2, 3, 4\}$ , le $4$ -cycle $(a\ b\ c\ d)$ envoie $a$ sur $b$ , $b$ sur $c$ , $c$ sur $d$ et $d$ sur $a$ . Comme au nœud Table de 𝔖₃, en suivant les images, $\sigma(a\ b\ c\ d)\sigma^{-1} = (\sigma(a)\ \sigma(b)\ \sigma(c)\ \sigma(d)),$ et le conjugué d'une double transposition $(a\ b)(c\ d)$ est $(\sigma(a)\ \sigma(b))(\sigma(c)\ \sigma(d))$ .

Énoncé

Le groupe ${\mathfrak S_4}$ a cinq classes de conjugaison, et sa table des caractères est la suivante, où $\chi_H$ est le caractère de l'hyperplan $H = \{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0\}$ de la représentation de permutation :

Caractère	$\mathrm{id}$ (1)	$(1\ 2)$ (6)	$(1\ 2)(3\ 4)$ (3)	$(1\ 2\ 3)$ (8)	$(1\ 2\ 3\ 4)$ (6)
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\varepsilon$	$1$	$-1$	$1$	$1$	$-1$
$\chi_2$	$2$	$0$	$2$	$-1$	$0$
$\chi_H$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$-1$
$\varepsilon\chi_H$	$3$	$-1$	$-1$	$0$	$1$

Le caractère $\chi_2$ , de degré $2$ , est déterminé par les quatre autres.

Démonstration

Les éléments. Il y a $\binom 42 = 6$ transpositions, $3$ doubles transpositions et $8$ 3-cycles (Le groupe 𝔄₄, (i)). Un $4$ -cycle s'écrit de manière unique $(1\ b\ c\ d)$ , puisque $b$ , $c$ , $d$ sont les images successives de $1$ ; il y en a $3! = 6$ .

Ces $1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24$ permutations sont distinctes : l'identité a quatre points fixes, une transposition deux, un $3$ -cycle un, et les deux derniers types aucun ; une double transposition $\tau$ vérifie $\tau^2 = \mathrm{id}$ , tandis qu'un $4$ -cycle envoie $1$ sur $b$ puis sur $c \neq 1$ . Comme $|\mathfrak S_4| = 24$ (même nœud), ce sont toutes les permutations.

Les classes. Par les formules de conjugaison, chacun des cinq types est stable par conjugaison ; et deux permutations du même type sont conjuguées par une permutation $\sigma$ qui envoie, dans l'ordre, les éléments écrits dans l'une sur ceux écrits dans l'autre. Les cinq types sont donc les cinq classes.

Quatre caractères irréductibles. La signature vaut $-1$ sur les transpositions, $1$ sur les doubles transpositions et les $3$ -cycles, produits de deux transpositions, et $-1$ sur les $4$ -cycles, puisque $(a\ b\ c\ d) = (a\ d)(a\ c)(a\ b)$ (Permutations, signature, (iii)).

Par Caractères, (v), $\chi_H$ vaut $4 - 1$ , $2 - 1$ , $0 - 1$ , $1 - 1$ et $0 - 1$ ; son carré scalaire est $\frac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1$ , et $H$ est irréductible (Orthogonalité, (iv)).

La représentation $\varepsilon\rho_H$ est irréductible de caractère $\varepsilon\chi_H$ (Caractères linéaires, (iv)), distinct de $\chi_H$ . Les quatre caractères $1$ , $\varepsilon$ , $\chi_H$ et $\varepsilon\chi_H$ sont distincts, donc deux à deux orthogonaux.

Le cinquième. Il y a cinq caractères irréductibles (Fonctions centrales, (i), qui repose sur le lemme de Schur, où le théorème de d'Alembert-Gauss est admis). Le degré $d$ du dernier vérifie $1 + 1 + d^2 + 9 + 9 = 24$ (Représentation régulière, (ii)), donc $d = 2$ .

La relation $\sum_i d_i\chi_i(g) = 0$ pour $g \neq e$ (même nœud) donne $\begin{aligned} 2\chi_2(g) = -\big(&1 + \varepsilon(g) \\ &+ 3\chi_H(g) + 3\varepsilon(g)\chi_H(g)\big). \end{aligned}$ La parenthèse vaut $0$ , $-4$ , $2$ et $0$ sur les classes de $(1\ 2)$ , $(1\ 2)(3\ 4)$ , $(1\ 2\ 3)$ et $(1\ 2\ 3\ 4)$ , d'où les valeurs $0$ , $2$ , $-1$ et $0$ de $\chi_2$ .

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Remarque

Le calcul détermine $\chi_2$ sans construire la représentation, dont l'existence est garantie par Fonctions centrales.

On la retrouve ainsi : $\mathfrak S_4$ agit par conjugaison sur ses trois doubles transpositions, ce qui fournit un morphisme $\mathfrak S_4 \to \mathfrak S_3$ , en les numérotant, de noyau le groupe $V$ formé de l'identité et des doubles transpositions. En le composant avec le plan $H$ de $\mathfrak S_3$ , on obtient une représentation de degré $2$ dont le caractère, calculé classe par classe, est $\chi_2$ ; un programme le confirme, ainsi que toutes les relations d'orthogonalité de la table.

Remarque

La colonne de $(1\ 2)(3\ 4)$ donne $1 + 1 + 4 + 1 + 1 = 8 = \frac{24}{3}$ , cardinal du centralisateur d'une double transposition, et le carré scalaire de $\chi_2$ vaut $\frac{4 + 0 + 3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 0}{24} = 1$ , comme il se doit.

Remarque

Frobenius a défini les caractères dans des lettres à Dedekind d'avril 1896, et calculé dès ce moment ceux de petits groupes ; sa note « Über Gruppencharaktere » parut dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin de 1896 (p. 985-1021). Les caractères y sont introduits sans représentations, qui n'apparaissent dans son œuvre que l'année suivante.

Repose sur

Caractères linéaires et abélianisé La table des caractères de 𝔖₃

Sert à

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