ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

Proposition 4Représentations des groupes finis

La table des caractères de 𝔖₃

Les permutations se composent de droite à gauche. Pour toute permutation σ\sigma et des éléments distincts a,b,ca, b, c, on a σ(a b)σ−1=(σ(a) σ(b)),σ(a b c)σ−1=(σ(a) σ(b) σ(c)),\begin{aligned} \sigma(a\ b)\sigma^{-1} &= (\sigma(a)\ \sigma(b)), \\ \sigma(a\ b\ c)\sigma^{-1} &= (\sigma(a)\ \sigma(b)\ \sigma(c)), \end{aligned} comme on le voit en suivant les images : le membre de gauche envoie σ(a)\sigma(a) sur σ(b)\sigma(b), et fixe tout élément qui n'est pas l'image d'un élément déplacé.

Énoncé

Le groupe 𝔖3{\mathfrak S_3} a trois classes de conjugaison : l'identité, les trois transpositions et les deux 3-cycles. Sa table des caractères est la suivante, où ε\varepsilon est la signature et χH\chi_H le caractère du plan H={x+y+z=0}H = \{x + y + z = 0\} de la représentation de permutation :

Caractèreid\mathrm{id} (1)(1 2)(1\ 2) (3)(1 2 3)(1\ 2\ 3) (2)
11111111
ε\varepsilon11−1-111
χH\chi_H2200−1-1

Ces trois caractères sont les caractères irréductibles de 𝔖3\mathfrak S_3 ; entre parenthèses, le nombre d'éléments de chaque classe.

Démonstration

Classes. Les éléments de 𝔖3\mathfrak S_3 sont l'identité, les trois transpositions et les deux 33-cycles (1 2 3)(1\ 2\ 3) et (1 3 2)(1\ 3\ 2), soit les 6=3!6 = 3! bijections de {1,2,3}\{1, 2, 3\}. Par les formules ci-dessus, le conjugué d'une transposition est une transposition, et celui d'un 33-cycle un 33-cycle.

Inversement, pour deux transpositions (a b)(a\ b) et (a′ b′)(a'\ b'), une permutation σ\sigma qui envoie aa sur a′a' et bb sur b′b' les conjugue ; de même pour deux 33-cycles (a b c)(a\ b\ c) et (a′ b′ c′)(a'\ b'\ c'), avec σ(a)=a′\sigma(a) = a', σ(b)=b′\sigma(b) = b', σ(c)=c′\sigma(c) = c'.

Caractères. La représentation triviale et la signature sont de degré 11, donc irréductibles (Représentations, (ii)) ; une transposition a pour signature −1-1 et un 33-cycle, produit de deux transpositions, 11 (Permutations, signature).

Par Caractères, (v), χH\chi_H est le nombre de points fixes diminué de 11 : 3−13 - 1, 1−11 - 1 et 0−10 - 1. Son carré scalaire vaut 4+0+26=1\frac{4 + 0 + 2}{6} = 1, et HH est irréductible (Orthogonalité, (iv)).

Les trois caractères sont distincts, donc ceux de représentations non isomorphes (Caractères, (i)) ; comme il y a trois classes, il n'y a pas d'autre caractère irréductible (Fonctions centrales, (i), qui repose sur le lemme de Schur, où le théorème de d'Alembert-Gauss est admis).

□
Remarque

Les relations d'orthogonalité se lisent sur la table. Les lignes de ε\varepsilon et χH\chi_H donnent 2+0−26=0\frac{2 + 0 - 2}{6} = 0. La colonne de (1 2)(1\ 2) donne 12+(−1)2+02=21^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2, cardinal du centralisateur {id,(1 2)}\{\mathrm{id}, (1\ 2)\}, et celle de (1 2 3)(1\ 2\ 3) donne 1+1+1=31 + 1 + 1 = 3, cardinal de ⟨(1 2 3)⟩\langle (1\ 2\ 3) \rangle, qui est son centralisateur.

Remarque

Le plan HH réalise 𝔖3\mathfrak S_3 comme groupe de symétries d'un triangle équilatéral, comme le montre la figure, calculée dans la base orthonormée de HH formée de 12(1,−1,0)\frac{1}{\sqrt 2}(1, -1, 0) et 16(1,1,−2)\frac{1}{\sqrt 6}(1, 1, -2).

(1 2) (1 2 3) p1 p2 p3
Le dessin est fait dans le plan réel {x+y+z=0}\{x + y + z = 0\} de ℝ3\mathbb R^3. Les projections p1,p2,p3p_1, p_2, p_3 des vecteurs de base forment un triangle équilatéral centré en 00. La transposition (1 2)(1\ 2), de trace 00, est la symétrie d'axe la droite qui passe par p3p_3, en bleu ; le 33-cycle (1 2 3)(1\ 2\ 3), de trace −1-1, fait tourner le triangle d'un tiers de tour, p1↦p2↦p3p_1 \mapsto p_2 \mapsto p_3, en rouge.

Repose sur

Les caractères irréductibles, base des fonctions centrales

Sert à

La table des caractères de 𝔖₄
Ouvrir dans l'atlas interactif →