Proposition 4Les nombres complexes

Aucun ordre de corps sur ℂ

Énoncé

Il n'existe aucun ordre total qui fasse de ${\mathbb C}$ un corps ordonné.

Démonstration

Dans un corps ordonné, tout carré est positif et $1 > 0$ (Ordre de ℚ). Comme $i^2 = -1$ (Construction de ℂ), on aurait $-1 = i^2 \geqslant 0$ , donc $0 = 1 + (-1) \geqslant 1 > 0$ , contradiction.

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Remarque

On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes de manière compatible avec les opérations. Les inégalités entre complexes portent toujours sur leurs modules ou leurs parties réelles, qui sont des réels.

Repose sur

ℂ comme quotient de ℝ[X]

Sert à

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