ℚ se plonge dans tout corps ordonné

Sur $\mathbb N$. Par récurrence (Définition par récurrence), on pose $\varphi(0) = 0$ et $\varphi(n + 1) = \varphi(n) + 1$. Par récurrence sur $n$, $\varphi(m + n) = \varphi(m) + \varphi(n)$, puis $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ par distributivité. Comme $1 > 0$ (Ordre de ℚ), $\varphi(n + 1) > \varphi(n)$ : $\varphi$ est strictement croissante sur $\mathbb N$.

Les suites $(\varphi(n))$ et $(n \cdot 1)$ vérifient les mêmes relations de récurrence, donc $\varphi(n) = n \cdot 1$, et $\varphi(n)\,x = (n \cdot 1)\,x = nx$ (Anneau A[X]).

Sur ${\mathbb Z}$. On pose $\varphi(-n) = -\varphi(n)$, ce qui est cohérent en $0$. Pour $m, n \in \mathbb N$, on a $\varphi(m - n) = \varphi(m) - \varphi(n)$ : si $n \leqslant m$, on écrit $m = n + k$, et $\varphi(m - n) = \varphi(k) = \varphi(m) - \varphi(n)$ ; sinon $n = m + k$, et $\varphi(m - n) = -\varphi(k) = \varphi(m) - \varphi(n)$.

Tout entier relatif est de la forme $m - n$ avec $m, n \in \mathbb N$ (Construction de ℤ). L'additivité vient alors de $(m - n) + (m' - n') = (m + m') - (n + n')$, et la multiplicativité de $$\begin{aligned} &(m - n)(m' - n') \\ &= (mm' + nn') - (mn' + nm'). \end{aligned}$$ Enfin, si $x < y$ dans $\mathbb Z$, alors $y - x \in \mathbb N \setminus \{0\}$, et $\varphi(y) - \varphi(x) = \varphi(y - x) > \varphi(0) = 0$.

Sur $\mathbb Q$. Pour $b \neq 0$, $\varphi(b) \neq 0$ ; on pose $\varphi(a/b) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1}$. Si $ab' = a'b$, alors $\varphi(a)\varphi(b') = \varphi(a')\varphi(b)$, et les deux quotients coïncident. Les formules de la somme et du produit des fractions montrent que $\varphi$ est un morphisme d'anneaux.

Si $x = a/b > 0$ avec $b > 0$, alors $a > 0$, donc $\varphi(a) > 0$ et $\varphi(b) > 0$, et $\varphi(x) > 0$ ; ainsi $x < y$ entraîne $\varphi(y) - \varphi(x) = \varphi(y - x) > 0$.

Unicité. Un morphisme d'anneaux $\psi$ vérifie $\psi(1) = 1$, donc $\psi(n) = \varphi(n)$ par récurrence, $\psi(-n) = -\psi(n)$, et $\psi(a/b)\,\psi(b) = \psi(a)$ impose $\psi(a/b) = \varphi(a/b)$.