Proposition 1Les nombres réels

Les réels comme coupures de ℚ

On note ${\mathbb R}$ l'ensemble des coupures de Dedekind de ${\mathbb Q}$ , ordonné par inclusion. Pour $q \in \mathbb Q$ , on note $q^* = \,]{\leftarrow}, q[\, = \{x \in \mathbb Q : x < q\}$ .

Énoncé

(i) $\mathbb R$ est totalement ordonné, a la propriété de la borne supérieure, et $q \mapsto q^*$ est une application strictement croissante de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ .

(ii) Si $C$ est une coupure, $c \in C$ et $u \notin C$ , alors $c < u$ .

(iii) Pour toute coupure $C$ et tout rationnel $\varepsilon > 0$ , il existe $x \in C$ tel que $x + \varepsilon \notin C$ .

Démonstration

(i) L'ordre de $\mathbb Q$ est total, dense et sans extrémités (Archimède, densité) ; c'est le théorème du nœud Coupures de Dedekind.

(ii) Si l'on avait $u \leqslant c$ , alors $u \in C$ , puisque $C$ est un segment initial.

(iii) Soit $c_0 \in C$ et $u \notin C$ . Par la propriété d'Archimède de $\mathbb Q$ , il existe $n \in {\mathbb N}$ tel que $n\varepsilon > u - c_0$ , et alors $c_0 + n\varepsilon \notin C$ par (ii).

L'ensemble des $k \in \mathbb N$ tels que $c_0 + k\varepsilon \notin C$ est donc non vide ; soit $k$ son plus petit élément (Bon ordre sur ℕ). Comme $c_0 \in C$ , $k \geqslant 1$ , et $x = c_0 + (k - 1)\varepsilon$ convient.

Partant de

c_0 \in C

, on avance par sauts de longueur

\varepsilon

; la propriété d'Archimède garantit que l'on sort de

C

, au plus tard en dépassant

u

. Le dernier point atteint dans

C

est

x

, et le saut rouge mène à

x + \varepsilon

, qui n'est plus dans

C

□

Remarque

Le point (iii) est le seul endroit où la construction utilise la propriété d'Archimède de $\mathbb Q$ . Sans lui, on ne pourrait pas montrer qu'une coupure a un opposé.

Remarque

Une autre construction, due à Cantor et Méray, définit $\mathbb R$ comme le quotient de l'anneau des suites de Cauchy rationnelles par l'idéal des suites de limite nulle. Le théorème d'unicité, plus bas, montre que les deux constructions donnent le même objet à isomorphisme près.

Repose sur

ℚ Structures d'ordre

Sert à

Addition des coupures