Addition des coupures

(i) Somme. $C + D$ est non vide. Si $u \notin C$ et $v \notin D$, alors $c + d < u + v$ pour tous $c \in C$, $d \in D$, par Coupures de ℚ (ii) ; donc $u + v \notin C + D$.

Si $z < c + d$, alors $z - d < c$, donc $z - d \in C$ et $z = (z - d) + d \in C + D$. Enfin, $c$ n'étant pas le plus grand élément de $C$, il existe $c' > c$ dans $C$, et $c' + d > c + d$.

Opposé. Soit $u \notin C$ ; alors $x = -u - 1$ appartient à $-C$, avec $r = 1$. Si $c \in C$, alors $-c \notin -C$, puisque $c - r \in C$ pour tout $r > 0$. Si $x \in -C$, avec $-x - r \notin C$, et $y < x$, alors $-y - r > -x - r$, donc $-y - r \notin C$ et $y \in -C$.

Enfin $x + r/2 \in -C$, avec $r/2$, puisque $$-\Big(x + \frac r2\Big) - \frac r2 = -x - r \notin C :$$ $-C$ n'a pas de plus grand élément.

(ii) L'associativité et la commutativité viennent de celles de $\mathbb Q$.

Neutre. Si $c \in C$ et $z < 0$, alors $c + z < c$, donc $c + z \in C$ : $C + 0^* \subset C$. Réciproquement, pour $c \in C$, soit $c' > c$ dans $C$ ; alors $c = c' + (c - c')$ avec $c - c' \in 0^*$.

Opposé. Si $c \in C$ et $x \in -C$, avec $-x - r \notin C$, alors $c < -x - r$, d'où $c + x < -r < 0$ : $C + (-C) \subset 0^*$.

Réciproquement, soit $z < 0$ et $\varepsilon = -z/2$. Par Coupures de ℚ (iii), il existe $x \in C$ avec $x + \varepsilon \notin C$. Posons $y = z - x$. Alors $$-y - \varepsilon = x - z - \varepsilon = x + \varepsilon \notin C,$$ donc $y \in -C$, et $z = x + y \in C + (-C)$.

(iii) Si $a < p$ et $b < q$, alors $a + b < p + q$. Réciproquement, si $z < p + q$, posons $\delta = (p + q - z)/2 > 0$, $a = p - \delta$ et $b = q - \delta$ : alors $a < p$, $b < q$ et $a + b = z$.

(iv) Tout $c + e$ avec $c \in C \subset D$ appartient à $D + E$.