ChapitreLes nombres réels

ℝ est un corps ordonné

Produit de deux coupures positives, défini par $$\begin{aligned} C \cdot D = 0^* \cup \{cd :\ &c \in C,\ d \in D, \\ &c \geqslant 0,\ d \geqslant 0\}. \end{aligned}$$ C'est une coupure, le produit est associatif, commutatif, de neutre $1^*$, distributif sur l'addition, et toute coupure strictement positive a un inverse.

La règle des signes, fondée sur $(-C) \cdot D = -(C \cdot D)$, étend le produit à toutes les coupures, et une disjonction de cas transporte les axiomes : ${\mathbb R}$ est un corps ordonné, et $q \mapsto q^*$ est un morphisme injectif de corps ordonnés de ${\mathbb Q}$ dans $\mathbb R$.