Produit de deux coupures quelconques

(i) Si $C$ est positive, $|C| = C$. Sinon, $-C$ est positive (Produit des positives, (i)), et $|C| = -C$, donc $C = -|C|$. Soit $A$ positive : $|A| = A$. Si $A = 0^*$, alors $-A = 0^*$ et $|-A| = 0^* = A$. Si $A \neq 0^*$, alors $-A$ n'est pas positive, toujours par Produit des positives (i), et $|-A| = -(-A) = A$. Enfin, écrivant $C = \sigma|C|$, on a $-C = (-\sigma)|C|$, donc $|-C| = |C|$.

(ii) Par (i), $|\sigma A| = A$ et $|\tau B| = B$. Si $A = 0^*$, alors $\sigma A = 0^*$, puisque $-0^* = 0^*$ ; les deux membres sont alors $\pm(0^* \cdot B)$ et $\pm(A \cdot B)$, c'est-à-dire $\pm 0^* = 0^*$ (Produit des positives, (iii)). Il en va de même si $B = 0^*$.

Supposons $A \neq 0^*$ et $B \neq 0^*$ : alors $\sigma A$ est positive si et seulement si $\sigma = 1$, par (i) de Produit des positives, et de même pour $\tau B$. Les coupures $\sigma A$ et $\tau B$ sont donc de même signe si et seulement si $\sigma = \tau$, c'est-à-dire $\sigma\tau = 1$, et la définition donne $(\sigma A) \cdot (\tau B) = A \cdot B$ dans ce cas, $-(A \cdot B)$ dans l'autre : c'est $(\sigma\tau)(A \cdot B)$.

(iii) Écrivons $C = \sigma|C|$ et $D = \tau|D|$ par (i). Alors $-C = (-\sigma)|C|$, et (ii) donne $$\begin{aligned} (-C) \cdot D &= (-\sigma\tau)(|C| \cdot |D|) \\ &= -\big((\sigma\tau)(|C| \cdot |D|)\big) \\ &= -(C \cdot D). \end{aligned}$$ Le calcul de $C \cdot (-D)$ est le même.