Les coupures forment un corps

$(\mathbb R, +)$ est un groupe abélien de neutre $0^*$ (Addition des réels). Dans toute la preuve, on écrit $C = \sigma A$, $D = \tau B$, $E = \upsilon F$, avec $A = |C|$, $B = |D|$, $F = |E|$ positives et $\sigma, \tau, \upsilon \in \{1, -1\}$ (Règle des signes, (i)).

Commutativité. Par Règle des signes (ii) et Associativité, neutre (i), $$\begin{aligned} C \cdot D &= (\sigma\tau)(A \cdot B) \\ &= (\tau\sigma)(B \cdot A) = D \cdot C. \end{aligned}$$

Neutre. $1^*$ est positive, donc $C \cdot 1^* = (\sigma \cdot 1)(A \cdot 1^*) = \sigma A = C$.

Associativité. $A \cdot B$ est positive, et deux applications de Règle des signes (ii) donnent $$\begin{aligned} (C \cdot D) \cdot E &= \big((\sigma\tau)(A \cdot B)\big) \cdot (\upsilon F) \\ &= (\sigma\tau\upsilon)\big((A \cdot B) \cdot F\big). \end{aligned}$$ De même $C \cdot (D \cdot E) = (\sigma\tau\upsilon)\big(A \cdot (B \cdot F)\big)$, et les deux coïncident par Associativité, neutre (ii).

Distributivité. Montrons $C \cdot (D + E) = C \cdot D + C \cdot E$ pour toutes coupures $C$, $D$, $E$. Pour toute coupure $X$, on a $C \cdot X = \sigma(A \cdot X)$ : en écrivant $X = \xi|X|$, Règle des signes (ii) donne $$\begin{aligned} C \cdot X &= (\sigma\xi)(A \cdot |X|) \\ &= \sigma\big(\xi(A \cdot |X|)\big) = \sigma(A \cdot X). \end{aligned}$$

Comme $-(Y + Z) = (-Y) + (-Z)$ dans le groupe abélien $\mathbb R$, il suffit donc de traiter le cas où $C = A$ est positive. On distingue selon les signes de $D$ et $E$, en utilisant $A \cdot (-X) = -(A \cdot X)$ (Règle des signes, (iii)).

Si $D$ et $E$ sont positives, c'est Distributivité (positives).

Si $D$ et $E$ ne sont pas positives, $D = -B$ et $E = -F$, et $D + E = -(B + F)$ ; alors $$\begin{aligned} A \cdot (D + E) &= -\big(A \cdot (B + F)\big) \\ &= -(A \cdot B + A \cdot F) \\ &= A \cdot (-B) + A \cdot (-F) \\ &= A \cdot D + A \cdot E. \end{aligned}$$

Si $D$ est positive et $E = -F$ ne l'est pas, deux sous-cas se présentent.

Si $G = D + E$ est positive, alors $D = G + F$, somme de deux positives, donc $A \cdot D = A \cdot G + A \cdot F$, d'où $$\begin{aligned} A \cdot (D + E) &= A \cdot G = A \cdot D - A \cdot F \\ &= A \cdot D + A \cdot E. \end{aligned}$$

Sinon, $H = -(D + E)$ est positive et $F = H + D$, donc $A \cdot F = A \cdot H + A \cdot D$, d'où $$\begin{aligned} A \cdot (D + E) &= -(A \cdot H) \\ &= A \cdot D - A \cdot F \\ &= A \cdot D + A \cdot E. \end{aligned}$$

Si $D$ n'est pas positive et $E$ l'est, on échange les rôles de $D$ et $E$, l'addition étant commutative.

Unité non nulle. $0 \in 1^*$ et $0 \notin 0^*$, donc $1^* \neq 0^*$.

Inverse. Soit $C \neq 0^*$. Alors $A = |C| \neq 0^*$, puisque $C = \pm A$ et $-0^* = 0^*$ ; $A$ est donc strictement positive et a un inverse $A^{-1}$ (Inverse d'une positive). Si $C$ est positive, $C \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1} = 1^*$. Sinon $C = -A$, et $$\begin{aligned} C \cdot \big(-(A^{-1})\big) &= (-A) \cdot \big(-(A^{-1})\big) \\ &= A \cdot A^{-1} = 1^* \end{aligned}$$ par Règle des signes (ii).

Ainsi $(\mathbb R, +, \cdot)$ est un anneau commutatif, où $1^* \neq 0^*$ et où toute coupure non nulle est inversible : c'est un corps.