Distributivité pour les coupures positives

Positivité. L'addition est compatible avec l'inclusion (Addition des réels, (iv)) et $0^*$ en est le neutre : de $0^* \subset E$ on tire $D = D + 0^* \subset D + E$, et de même $E \subset D + E$. En particulier $0^* \subset D \subset D + E$. Pour la même raison, $C \cdot D + C \cdot E$ est positive, puisque $C \cdot D$ et $C \cdot E$ le sont (Produit des positives, (iii)).

Inclusion $C \cdot (D + E) \subset C \cdot D + C \cdot E$. Soit $x$ dans le premier membre. Si $x < 0$, il est dans $0^* \subset C \cdot D + C \cdot E$. Sinon $x = cs$, avec $c \in C_+$ et $s$ un élément positif de $D + E$, que l'on écrit $s = d + e$ avec $d \in D$ et $e \in E$ ; attention, $d$ ou $e$ peut être strictement négatif.

Choisissons $c' \in C$ avec $c' > c$, de sorte que $c' > 0$. Alors $c'd \in C \cdot D$ : si $d \geqslant 0$, c'est un produit d'éléments de $C_+$ et $D_+$, et si $d < 0$, alors $c'd < 0$ est dans $0^*$. De même $c'e \in C \cdot E$, et donc $$c's = c'd + c'e \in C \cdot D + C \cdot E.$$ Comme $s \geqslant 0$ et $c \leqslant c'$, on a $x = cs \leqslant c's$, et $x$ appartient au segment initial $C \cdot D + C \cdot E$ (Addition des réels, (i)).

Inclusion $C \cdot D + C \cdot E \subset C \cdot (D + E)$. Soit $y = a + b$ avec $a \in C \cdot D$ et $b \in C \cdot E$. Si $y < 0$, il est dans $0^*$. Supposons $y \geqslant 0$ ; alors $a$ et $b$ ne sont pas tous deux strictement négatifs, et un élément positif de $C \cdot D$ s'écrit $cd$ avec $c \in C_+$ et $d \in D_+$. Trois cas restent.

Si $a = cd \geqslant 0$ et $b < 0$, alors $y < cd$ ; or $d \in D \subset D + E$ et $d \geqslant 0$, donc $cd \in C \cdot (D + E)$, et $y$ aussi, ce produit étant un segment initial. Le cas $a < 0$, $b = c'e \geqslant 0$ est symétrique, avec $E \subset D + E$.

Si $a = cd$ et $b = c'e$, avec $c, c' \in C_+$, $d \in D_+$ et $e \in E_+$, posons $c'' = \max(c, c') \in C_+$. Alors $$y = cd + c'e \leqslant c''d + c''e = c''(d + e),$$ où $d + e$ est un élément positif de $D + E$ ; donc $c''(d + e) \in C \cdot (D + E)$, et $y$ aussi.