Proposition 1Multiplication des réels

Coupures positives et leur produit

Une coupure $C$ est positive si $0^* \subset C$ , et strictement positive si de plus $C \neq 0^*$ ; l'ordre de ${\mathbb R}$ étant l'inclusion (Coupures de ℚ), cela revient à $0^* \leqslant C$ . Pour une coupure positive $C$ , on note $C_+ = \{c \in C : c \geqslant 0\}$ la partie positive de $C$ , et pour deux coupures positives $C$ et $D$ , on pose $C \cdot D = 0^* \cup \{cd : c \in C_+,\ d \in D_+\}.$

Énoncé

(i) Pour toute coupure $C$ , l'une au moins des coupures $C$ et $-C$ est positive ; elles le sont toutes les deux si et seulement si $C = 0^*$ .

(ii) Une coupure positive $C$ est strictement positive si et seulement si $0 \in C$ , et si et seulement si $C$ contient un rationnel strictement positif.

(iii) Si $C$ et $D$ sont positives, $C \cdot D$ est une coupure positive. De plus $C \cdot 0^* = 0^* \cdot C = 0^*$ .

Démonstration

(i) L'ordre de $\mathbb R$ est total (Coupures de ℚ, (i)) : on a $0^* \subset C$ ou $C \subset 0^*$ . Dans le second cas, en ajoutant $-C$ aux deux membres (Addition des réels, (iv)), il vient $C + (-C) \subset 0^* + (-C)$ , c'est-à-dire $0^* \subset -C$ , puisque $0^*$ est le neutre et $-C$ l'opposé de $C$ (Addition des réels, (ii)).

Si $C$ et $-C$ sont toutes deux positives, l'inclusion $0^* \subset C$ donne de même $-C = 0^* + (-C) \subset C + (-C) = 0^*,$ donc $-C = 0^*$ , et $C = -(-C) = -0^* = 0^*$ , car dans un groupe l'opposé du neutre est le neutre. Réciproquement, $0^*$ et $-0^* = 0^*$ sont positives.

(ii) Si $C \neq 0^*$ , il existe $x \in C$ hors de $0^*$ , c'est-à-dire $x \geqslant 0$ ; comme $C$ n'a pas de plus grand élément, il existe $x' \in C$ avec $x' > x \geqslant 0$ . Si $C$ contient un rationnel $x' > 0$ , il contient $0$ , puisque c'est un segment initial. Enfin, si $0 \in C$ , alors $C \neq 0^*$ , car $0 \notin 0^*$ .

(iii) Non vide, distincte de ${\mathbb Q}$ . $C \cdot D$ contient $0^*$ , qui n'est pas vide. Soit $u \notin C$ et $v \notin D$ , et posons $u' = \max(u, 1)$ et $v' = \max(v, 1)$ ; par Coupures de ℚ (ii), tout rationnel supérieur ou égal à un rationnel hors de $C$ est hors de $C$ , donc $u' \notin C$ et $v' \notin D$ .

Pour $c \in C_+$ et $d \in D_+$ , on a $0 \leqslant c < u'$ et $0 \leqslant d < v'$ , donc $cd \leqslant cv' < u'v'$ , la première inégalité parce que $c \geqslant 0$ et la seconde parce que $v' > 0$ (Ordre de ℚ, (i)). Comme $u'v' > 0$ , ce rationnel n'est pas dans $0^*$ ; il n'est donc pas dans $C \cdot D$ .

Segment initial. Soit $w \in C \cdot D$ et $z < w$ . Si $w < 0$ , alors $z < 0$ et $z \in 0^*$ . Sinon $w = cd$ avec $c \in C_+$ et $d \in D_+$ ; si $z < 0$ , encore $z \in 0^*$ . Reste le cas $0 \leqslant z < cd$ : alors $cd > 0$ , donc $c > 0$ , et $z/c < d$ en multipliant par $1/c > 0$ . Ainsi $z/c$ appartient à $D$ , qui est un segment initial, et à $D_+$ puisque $z/c \geqslant 0$ ; d'où $z = c \cdot (z/c) \in C \cdot D$ .

Pas de plus grand élément. Si $w < 0$ , alors $w < w/2 < 0$ et $w/2 \in 0^*$ . Si $w = cd$ , il existe $c' \in C$ et $d' \in D$ avec $c' > c$ et $d' > d$ , puisque $C$ et $D$ n'ont pas de plus grand élément ; ils sont strictement positifs, et $c'd' > c'd \geqslant cd$ , la première inégalité parce que $c' > 0$ et la seconde parce que $d \geqslant 0$ . Or $c'd' \in C \cdot D$ .

Positivité et produit par $0^*$ . $C \cdot D$ contient $0^*$ par définition. Enfin $(0^*)_+ = \varnothing$ , puisque $0^*$ ne contient que des rationnels strictement négatifs ; il ne reste donc dans $C \cdot 0^*$ et $0^* \cdot C$ que $0^*$ .

Les couples

(c, d)

C_+ \times D_+

remplissent le rectangle bleu, ouvert en haut et à droite, ici pour

C = D = \Gamma

, la coupure de la seconde remarque, formée des rationnels négatifs ou de carré inférieur à

2

. Si

0 \leqslant z < cd

, le point

(c, z/c)

est sur l'hyperbole rouge

xy = z

, à la verticale de

(c, d)

et en dessous : c'est pourquoi

z

est encore un produit

c \cdot (z/c)

d'éléments de

C_+

et de

D_+

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est de calquer le produit sur la somme et de poser $C \cdot D = \{cd : c \in C,\ d \in D\}$ . Une coupure contient tous les rationnels assez négatifs : pour $n$ entier assez grand, $-n$ appartient à $C$ et à $D$ , et le produit $(-n)(-n) = n^2$ appartient à cet ensemble, qui contient donc des rationnels arbitrairement grands et n'est pas une coupure. C'est pour cela que l'on ne multiplie que des éléments positifs, et que l'on rajoute à la main la partie $0^*$ .

Remarque

Le premier exemple instructif est celui de la coupure $\Gamma = \{x \in \mathbb Q : x \leqslant 0 \text{ ou } x^2 < 2\}$ de la remarque du nœud Irrationalité de √2, pour laquelle $\Gamma_+ = \{x \geqslant 0 : x^2 < 2\}$ . Montrons que $\Gamma \cdot \Gamma = 2^*$ .

Si $c, d \in \Gamma_+$ , alors $cd \leqslant \max(c, d)^2 < 2$ , donc $\Gamma \cdot \Gamma \subset 2^*$ .

Inversement, soit $0 \leqslant z < 2$ ; il suffit de trouver $c \in \Gamma_+$ tel que $z < c^2$ , car alors $z < c \cdot c$ et $z \in \Gamma \cdot \Gamma$ , qui est un segment initial. Si $z < 1$ , $c = 1$ convient.

Sinon, posons $h = 2 - z \in \,]0, 1]$ , choisissons un entier $n \geqslant 4/h$ et considérons $c_k = 1 + k/n$ : on a $c_0^2 = 1 < 2$ et $c_n^2 = 4 > 2$ , et pour le plus petit $k$ tel que $c_k^2 \geqslant 2$ , en fait $c_k^2 > 2$ puisque $2$ n'est pas le carré d'un rationnel. Comme $c_{k-1} < 3/2$ , l'écart $c_k^2 - c_{k-1}^2 = \frac{2c_{k-1}}{n} + \frac{1}{n^2}$ est strictement inférieur à $4/n \leqslant h$ , d'où $c_{k-1}^2 > 2 - h = z$ , et $c = c_{k-1}$ convient.

C'est l'argument des sauts de longueur fixe de Coupures de ℚ (iii), et il dit que $\Gamma$ est bien une racine carrée de $2^*$ dans $\mathbb R$ ; pour $z = 199/100$ , par exemple, on trouve $n = 400$ et $c = 1 + 165/400 = 113/80$ , de carré $12769/6400 \approx 1{,}9952$ .

Repose sur

Addition des coupures

Sert à

Le produit des coupures positives est associatif et commutatif Distributivité pour les coupures positives Produit de deux coupures quelconques