Le produit des coupures positives est associatif et commutatif

Notons d'abord, sur la définition du produit (Produit des positives), que les éléments positifs de $C \cdot D$ sont exactement les produits $cd$ avec $c \in C_+$ et $d \in D_+$ : les éléments de $0^*$ sont strictement négatifs, et ces produits sont positifs. Autrement dit, $(C \cdot D)_+ = \{cd : c \in C_+,\ d \in D_+\}$.

(i) L'ensemble $\{cd : c \in C_+,\ d \in D_+\}$ ne change pas quand on échange $C$ et $D$, puisque la multiplication de ${\mathbb Q}$ est commutative.

(ii) Par la remarque préliminaire, $(C \cdot D) \cdot E = 0^* \cup \{(cd)e : c \in C_+,\ d \in D_+,\ e \in E_+\}$, et de même $C \cdot (D \cdot E) = 0^* \cup \{c(de)\}$, avec les mêmes conditions. Les deux ensembles sont égaux par l'associativité de la multiplication de $\mathbb Q$.

(iii) Comme $0 < 1$, on a $0^* \subset 1^*$ (Coupures de ℚ, (i)), et $(1^*)_+ = \{t \in \mathbb Q : 0 \leqslant t < 1\}$. Par (i), il suffit de montrer $C \cdot 1^* = C$. D'une part $0^* \subset C$ ; et si $c \in C_+$ et $0 \leqslant t < 1$, alors $ct \leqslant c$, donc $ct \in C$, qui est un segment initial.

D'autre part, soit $c \in C$ ; si $c < 0$, il est dans $0^*$. Si $c \geqslant 0$, choisissons $c' \in C$ avec $c' > c$, possible puisque $C$ n'a pas de plus grand élément : alors $c' > 0$, $t = c/c'$ vérifie $0 \leqslant t < 1$, et $c = c't$ appartient à $C \cdot 1^*$.