Inverse d'une coupure strictement positive

(i) Par Produit des positives (ii), il existe $c_0 \in C$ avec $c_0 > 0$. Posons $\varepsilon = (\rho - 1)c_0 > 0$ ; par Coupures de ℚ (iii), il existe $x \in C$ tel que $x + \varepsilon \notin C$. Le rationnel $c = \max(x, c_0)$ appartient à $C$ et vérifie $c > 0$, et $$\begin{aligned} \rho c &= c + (\rho - 1)c \\ &\geqslant c + (\rho - 1)c_0 \\ &= c + \varepsilon \geqslant x + \varepsilon. \end{aligned}$$ Un rationnel supérieur ou égal à un rationnel hors de $C$ est hors de $C$ (Coupures de ℚ, (ii)) : $\rho c \notin C$.

(ii) Non vide, distincte de $\mathbb Q$. $C^{-1}$ contient $0$. Soit $c \in C$ avec $c > 0$ ; montrons que $1/c \notin C^{-1}$. Sinon, il existerait $r > 1$ tel que $1/(r \cdot \frac 1c) = c/r \notin C$, alors que $c/r < c$ et que $C$ est un segment initial.

Segment initial. Soit $x \in C^{-1}$ et $y < x$. Si $y \leqslant 0$, il est dans $C^{-1}$. Sinon $0 < y < x$, et $x > 0$ est associé à un $r > 1$ tel que $1/(rx) \notin C$. Comme $0 < ry < rx$, on a $1/(ry) > 1/(rx)$, donc $1/(ry) \notin C$, et $y \in C^{-1}$ avec le même $r$.

Pas de plus grand élément. Si $x < 0$, alors $x/2 \in C^{-1}$ et $x/2 > x$.

Si $x = 0$, soit $u \notin C$ ; comme $0 \in C$, on a $u > 0$, et $x' = 1/(2u) > 0$ appartient à $C^{-1}$, avec $r = 2$, puisque $1/(2x') = u \notin C$.

Si $x > 0$, avec $r > 1$ tel que $1/(rx) \notin C$, posons $r' = (1 + r)/2$ et $x' = rx/r'$ : on a $1 < r' < r$, donc $x' > x$, et $r'x' = rx$, donc $1/(r'x') \notin C$ et $x' \in C^{-1}$.

Stricte positivité. $0 \in C^{-1}$ (Produit des positives, (ii)).

(iii) Inclusion $C \cdot C^{-1} \subset 1^*$. On a $0^* \subset 1^*$. Soit $c \in C_+$ et $x$ un élément positif de $C^{-1}$. Si $x = 0$, alors $cx = 0 < 1$. Si $x > 0$, soit $r > 1$ tel que $1/(rx) \notin C$ ; alors $c < 1/(rx)$ (Coupures de ℚ, (ii)), donc $cx < 1/r < 1$. Dans les deux cas, $cx \in 1^*$.

Inclusion $1^* \subset C \cdot C^{-1}$. Soit $z < 1$. Si $z < 0$, il est dans $0^*$. Si $z = 0$, alors $0 = 0 \cdot 0$, avec $0 \in C_+$ et $0 \in C^{-1}$. Si $0 < z < 1$, on écrit $1/z$ comme produit de deux rationnels strictement supérieurs à $1$ : $$\rho = \frac{1 + z}{2z}, \qquad r = \frac{2}{1 + z}, \qquad \rho r = \frac 1z,$$ et l'on a bien $\rho > 1$ et $r > 1$, puisque $z < 1$.

Par (i), il existe $c \in C$, $c > 0$, tel que $\rho c \notin C$. Posons $x = 1/(r\rho c) > 0$ : alors $1/(rx) = \rho c \notin C$, donc $x \in C^{-1}$, et $cx = 1/(r\rho) = z$. Ainsi $z \in C \cdot C^{-1}$.