Théorème 2Multiplication des réels

ℝ est un corps ordonné qui contient ℚ

Énoncé

(i) Muni de l'inclusion, ${\mathbb R}$ est un corps ordonné, dont les éléments positifs, c'est-à-dire supérieurs ou égaux à $0^*$ , sont les coupures positives. Pour toute coupure $C$ , $|C|$ est le plus grand des deux éléments $C$ et $-C$ .

(ii) L'application $q \mapsto q^*$ de ${\mathbb Q}$ dans $\mathbb R$ est un morphisme de corps injectif et strictement croissant : $(p + q)^* = p^* + q^*$ , $(pq)^* = p^* \cdot q^*$ et $1^*$ est l'unité de $\mathbb R$ . C'est donc l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ (ℚ dans tout corps ordonné).

Démonstration

(i) $\mathbb R$ est un corps (ℝ est un corps) et l'inclusion est un ordre total (Coupures de ℚ, (i)).

Si $C \subset D$ , alors $C + E \subset D + E$ (Addition des réels, (iv)). Si $0^* \subset C$ et $0^* \subset D$ , alors $C$ et $D$ sont positives, leur produit est le produit des coupures positives, et $0^* \subset C \cdot D$ (Produit des positives, (iii)). Ce sont les deux axiomes d'un corps ordonné.

Pour la valeur absolue, si $C$ est positive, alors $-C \subset 0^* \subset C$ par Produit des positives (i) et la totalité de l'ordre, et $|C| = C = \max(C, -C)$ ; sinon, $C \subset 0^* \subset -C$ et $|C| = -C = \max(C, -C)$ .

(ii) L'additivité est Addition des réels (iii) ; elle donne $0^* + 0^* = 0^*$ , et $p^* + (-p)^* = 0^*$ , donc $(-p)^* = -(p^*)$ . La stricte croissance, donc l'injectivité, est Coupures de ℚ (i), et $1^*$ est l'unité (ℝ est un corps).

Multiplicativité pour $p, q \geqslant 0$ . Les coupures $p^*$ et $q^*$ sont positives, puisque $0 \leqslant p$ entraîne $0^* \subset p^*$ . Si $p = 0$ ou $q = 0$ , les deux membres valent $0^*$ (Produit des positives, (iii)). Supposons $p, q > 0$ ; alors $(p^*)_+ = \{a : 0 \leqslant a < p\}$ et de même pour $q$ . Si $0 \leqslant a < p$ et $0 \leqslant b < q$ , alors $ab \leqslant aq < pq$ , donc $p^* \cdot q^* \subset (pq)^*$ .

Inversement, soit $z < pq$ ; si $z < 0$ , il est dans $0^*$ . Si $0 \leqslant z < pq$ , posons $t = \frac12\Big(1 + \frac{z}{pq}\Big), \qquad a = pt, \qquad b = \frac{z}{pt}.$ On a $\frac12 \leqslant t < 1$ , donc $0 < a < p$ ; et $t > z/(pq)$ , donc $b = z/(pt) < q$ , avec $b \geqslant 0$ . Ainsi $z = ab \in p^* \cdot q^*$ .

Cas général. Écrivons $p = \sigma|p|$ et $q = \tau|q|$ , où $|p| = \max(p, -p)$ dans $\mathbb Q$ et $\sigma, \tau \in \{1, -1\}$ . Par ce qui précède, $p^* = \sigma\,|p|^*$ , avec $|p|^*$ positive, et de même pour $q$ . Par Règle des signes (ii), $\begin{aligned} p^* \cdot q^* &= (\sigma\tau)\big(|p|^* \cdot |q|^*\big) \\ &= (\sigma\tau)(|p|\,|q|)^* \\ &= \big((\sigma\tau)|p|\,|q|\big)^* = (pq)^*. \end{aligned}$

Enfin, $q \mapsto q^*$ est un morphisme d'anneaux ; par l'unicité de ℚ dans tout corps ordonné, c'est le plongement canonique de $\mathbb Q$ dans le corps ordonné $\mathbb R$ .

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Remarque

L'égalité $(pq)^* = p^* \cdot q^*$ dit que le diagramme suivant est commutatif, où les flèches horizontales sont les multiplications de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R$ : $\begin{CD} \mathbb Q \times \mathbb Q @>{(p, q) \,\mapsto\, pq}>> \mathbb Q \\ @V{(p, q) \,\mapsto\, (p^*, q^*)}VV @VV{q \,\mapsto\, q^*}V \\ \mathbb R \times \mathbb R @>{(C, D) \,\mapsto\, C \cdot D}>> \mathbb R \end{CD}$ On peut donc calculer dans $\mathbb Q$ puis plonger, ou plonger puis calculer dans $\mathbb R$ : c'est ce qui permet d'identifier $q$ à $q^*$ et de considérer $\mathbb Q$ comme un sous-corps ordonné de $\mathbb R$ , comme le fera Corps ordonné complet.

Remarque

La compatibilité avec le produit n'est qu'à sens unique. Comme dans tout corps ordonné (Ordre de ℚ, (i)), $C \subset D$ et $0^* \subset E$ entraînent $C \cdot E \subset D \cdot E$ , mais l'inclusion se renverse si $E$ n'est pas positive : de $1^* \subset 2^*$ on tire $2^* \cdot (-1)^* = (-2)^* \subset (-1)^* = 1^* \cdot (-1)^*$ . L'erreur la plus répandue, dans les inégalités, est d'oublier ce renversement.

Repose sur

Les coupures forment un corps

Sert à

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