Anneaux locaux

(i) Comme $1$ est inversible, $1 \notin \mathfrak m$ et $\mathfrak m \neq A$. Un idéal $J \neq A$ ne contient aucun inversible (Idéal, (iv)), donc $J \subset \mathfrak m$ : $\mathfrak m$ est maximal, et c'est le seul. Le quotient est un corps (Idéaux premiers, maximaux, (ii)). Si $x \in \mathfrak m$ et si $1 + x$ n'était pas inversible, on aurait $1 + x \in \mathfrak m$, puis $1 \in \mathfrak m$.

Pour la réciproque, les éléments de $\mathfrak m$ ne sont pas inversibles, puisque $\mathfrak m \neq A$, et les autres le sont : $\mathfrak m$ est exactement l'ensemble des non-inversibles, et $A \neq \{0\}$ puisque $\mathfrak m \neq A$.

(ii) La partie $S = A \setminus \mathfrak p$ est multiplicative, puisque $\mathfrak p$ est premier, et ne contient pas $0$. D'après Localisation, (iv), $\mathfrak m = S^{-1}\mathfrak p$ est un idéal premier, donc différent de $A_{\mathfrak p}$. Un élément $a/s$ qui n'est pas dans $\mathfrak m$ a son numérateur $a$ hors de $\mathfrak p$, donc dans $S$, et $s/a$ est son inverse. On conclut par (i).

(iii) Par Localisation, (iii), $\mathbb Z_{(p)}$ est l'anneau des $a/b$, $p \nmid b$, du corps des fractions de $\mathbb Z$. Pour $a \neq 0$, écrivons $a = p^ka'$ avec $p \nmid a'$, par la décomposition en facteurs premiers (Nombres premiers, (ii)) ; alors $a/b = p^k \cdot a'/b$, et $a'/b$ est inversible, d'inverse $b/a'$.

Soit $I$ un idéal non nul, et $k$ le plus petit exposant d'un élément non nul $p^ku$ de $I$ (Bon ordre sur ℕ) : $I$ contient $p^k = (p^ku)u^{-1}$, donc $p^k\mathbb Z_{(p)}$, et tout élément non nul de $I$, de la forme $p^lv$ avec $l \geqslant k$, appartient à $p^k\mathbb Z_{(p)}$.

L'exposant $k$ d'un élément non nul est unique : $p^ku = p^lv$ avec $k < l$ donnerait $u = p^{l-k}v$, qui n'est pas inversible puisque $p$ ne l'est pas, $\frac1p$ n'ayant pas un dénominateur premier à $p$.