Théorème 8Algèbre commutative

Lemme de Nakayama

Un A-module $M$ est de type fini s'il existe $x_1, \dots, x_n \in M$ tels que $M = Ax_1 + \cdots + Ax_n$ , c'est-à-dire que tout élément de $M$ s'écrive $\sum_i a_ix_i$ . Pour un idéal $I$ , on note $IM$ l'ensemble des sommes finies $\sum_j b_jy_j$ avec $b_j \in I$ et $y_j \in M$ ; c'est un sous-module de $M$ .

Énoncé

(i) Lemme de Nakayama. Soit $I$ un idéal tel que $1 + I \subset A^\times$ , et $M$ un $A$ -module de type fini. Si $IM = M$ , alors $M = \{0\}$ .

(ii) Sous les mêmes hypothèses, si $N$ est un sous-module de $M$ tel que $M = N + IM$ , alors $M = N$ .

(iii) Soit $A$ un anneau local, d'idéal maximal $\mathfrak m$ et de corps résiduel $k = A/\mathfrak m$ , et $M$ un $A$ -module de type fini. Alors $M/\mathfrak mM$ est un $k$ -espace vectoriel de dimension finie $d$ .

Des éléments $x_1, \dots, x_n$ engendrent $M$ si et seulement si leurs classes engendrent $M/\mathfrak mM$ ; et une famille génératrice de $M$ dont aucune sous-famille stricte n'engendre $M$ a exactement $d$ éléments.

Démonstration

(i) Par récurrence sur le nombre $n$ de générateurs. Si $n = 0$ , $M = \{0\}$ .

Soit $M = Ax_1 + \cdots + Ax_n$ avec $n \geqslant 1$ . Un élément de $IM$ s'écrit $\sum_j b_jy_j$ , et, en développant chaque $y_j$ sur les $x_i$ , $\sum_i a_ix_i$ avec des $a_i \in I$ . Comme $x_n \in M = IM$ , on écrit ainsi $x_n = \sum_i a_ix_i$ , soit $(1 - a_n)x_n = \sum_{i < n} a_ix_i.$

Or $1 - a_n \in 1 + I$ est inversible : $x_n \in M' = Ax_1 + \cdots + Ax_{n-1}$ , donc $M = M'$ , engendré par $n - 1$ éléments, avec $IM' = IM = M = M'$ . L'hypothèse de récurrence donne $M = \{0\}$ .

(ii) Le quotient $M/N$ (Module) est de type fini, engendré par les classes des générateurs de $M$ , et $I(M/N) = M/N$ : toute classe $x + N$ s'écrit, puisque $x \in N + IM$ , comme classe d'un élément $\sum_j b_jy_j$ de $IM$ , c'est-à-dire $\sum_j b_j(y_j + N)$ . Par (i), $M/N = \{0\}$ , et $M = N$ .

(iii) L'idéal $\mathfrak m$ vérifie $1 + \mathfrak m \subset A^\times$ (Anneaux locaux, (i)). Le module quotient $V = M/\mathfrak mM$ est annulé par $\mathfrak m$ : pour $a \in \mathfrak m$ , $a(x + \mathfrak mM) = ax + \mathfrak mM = \mathfrak mM$ . La loi $(a + \mathfrak m)\cdot \bar x = a\bar x$ est donc bien définie, et munit $V$ d'une structure de $k$ -espace vectoriel, les axiomes se lisant sur ceux du $A$ -module.

Les classes de générateurs de $M$ engendrent $V$ , qui est donc de dimension finie (Dimension). Si les classes de $x_1, \dots, x_n$ engendrent $V$ , le sous-module $N = Ax_1 + \cdots + Ax_n$ vérifie $M = N + \mathfrak mM$ , et $N = M$ par (ii) ; la réciproque est claire.

Soit enfin $(x_1, \dots, x_n)$ une famille génératrice dont aucune sous-famille stricte n'engendre $M$ . Les classes engendrent $V$ .

Si elles formaient une famille liée, une relation $\sum_i \lambda_i\bar x_i = 0$ avec $\lambda_j \neq 0$ exprimerait $\bar x_j$ comme combinaison linéaire des autres classes, qui engendreraient encore $V$ ; les éléments correspondants engendreraient $M$ par ce qui précède, contrairement à l'hypothèse. Les classes forment donc une base, et $n = d$ .

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Remarque

L'hypothèse « de type fini » ne peut pas être omise. Pour $A = \mathbb Z_{(p)}$ et $M$ le corps des fractions de $\mathbb Z$ , vu comme $A$ -module, on a $pM = M$ , puisque tout élément $x$ s'écrit $p \cdot \frac xp$ , et pourtant $M \neq \{0\}$ : d'après (i), appliqué à $I = p\mathbb Z_{(p)}$ , $M$ n'est donc pas de type fini sur $A$ .

L'hypothèse $1 + I \subset A^\times$ non plus : pour $A = \mathbb Z$ , $I = 2\mathbb Z$ et $M = \mathbb Z/3\mathbb Z$ , on a $2M = M$ , puisque $2 \cdot \bar 2 = \bar 1$ , mais $1 + 2 = 3$ n'est pas inversible dans $\mathbb Z$ .

Remarque

Le point (iii) dit qu'au-dessus d'un anneau local, le nombre minimal de générateurs d'un module se lit sur un espace vectoriel. C'est l'outil de base de la géométrie algébrique locale : pour l'anneau local d'un point, l'espace $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ joue le rôle d'espace cotangent, et, par (iii), sa dimension est le nombre minimal de générateurs de $\mathfrak m$ , c'est-à-dire de fonctions qui suffisent à décrire le point au premier ordre : c'est la dimension de plongement.

Repose sur

Anneaux locaux Algèbre linéaire

Sert à

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