Proposition 3Géométrie algébrique

Ensembles algébriques affines

Soit $K$ un corps et ${K[X]} = K[X_1, \dots, X_n]$ (plusieurs indéterminées). Pour $a \in {K^n}$ , l'évaluation $P \mapsto P(a)$ est un morphisme d'anneaux. Pour $S \subset K[X]$ et $Y \subset K^n$ , on pose $\begin{aligned} Z(S) = \{a \in K^n :{} &P(a) = 0 \\ &\text{pour tout } P \in S\}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} I(Y) = \{P \in K[X] :{} &P(a) = 0 \\ &\text{pour tout } a \in Y\}. \end{aligned}$ Un ensemble algébrique est une partie de la forme $Z(S)$ .

Énoncé

(i) $Z(S) = Z(J)$ où $J$ est l'idéal engendré par $S$ , et $I(Y)$ est un idéal qui contient tout polynôme dont une puissance lui appartient : si $P^m \in I(Y)$ pour un $m \geqslant 1$ , alors $P \in I(Y)$ .

(ii) $Z(I) \cup Z(J) = Z(IJ)$ et $\bigcap_i Z(S_i) = Z\big(\bigcup_i S_i\big)$ : les ensembles algébriques sont les fermés d'une topologie sur $K^n$ , la topologie de Zariski de $K^n$ .

(iii) $Y \subset Z(I(Y))$ , avec égalité si et seulement si $Y$ est algébrique ; $S \subset I(Z(S))$ .

(iv) Tout ensemble algébrique est de la forme $Z(P_1, \dots, P_k)$ pour un nombre fini de polynômes $P_1, \dots, P_k$ .

Démonstration

(i) Les polynômes qui s'annulent en $a$ forment le noyau de l'évaluation, qui est un idéal ; $Z(S)$ ne change donc pas si l'on remplace $S$ par l'idéal qu'il engendre. $I(Y)$ est une intersection de tels noyaux. Si $P^m$ s'annule sur $Y$ , $P$ aussi, $K$ étant intègre.

(ii) Si $a \notin Z(I)$ , il existe $P \in I$ avec $P(a) \neq 0$ ; pour $Q \in J$ , $PQ \in IJ$ s'annule en $a$ , donc $Q(a) = 0$ : $a \in Z(J)$ . L'autre inclusion et l'égalité des intersections sont immédiates.

Avec $Z(0) = K^n$ et $Z(1) = \varnothing$ , les ensembles algébriques contiennent $\varnothing$ et $K^n$ et sont stables par intersection quelconque et par réunion finie : leurs complémentaires vérifient les axiomes d'une topologie (Espace topologique).

(iii) Les inclusions sont des tautologies. Si $Y = Z(S)$ , alors $S \subset I(Y)$ donne $Z(I(Y)) \subset Z(S) = Y$ .

(iv) Par (i), $Z(S) = Z(J)$ , où $J$ est l'idéal engendré par $S$ . Par le théorème de la base de Hilbert (Base de Hilbert), $J$ est engendré par un nombre fini de polynômes $P_1, \dots, P_k$ , et $Z(J) = Z(P_1, \dots, P_k)$ par (i) encore.

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Remarque

Soit $F$ le corps des fractions de ${\mathbb Z}$ (Corps des fractions), infini puisqu'il contient une copie de $\mathbb Z$ . Le « cercle » $Z(X_1^2 + X_2^2 - 1)$ de $F^2$ est algébrique par définition ; la droite privée d'un point, $\{(x, 0) : x \in F,\ x \neq 0\}$ , ne l'est pas.

En effet, un ensemble algébrique $Z(S)$ rencontre une droite en un nombre fini de points ou la contient tout entière. Chaque polynôme de $S$ , restreint à la droite paramétrée, devient un polynôme en une variable : si tous sont nuls, la droite est contenue dans $Z(S)$ ; sinon, l'un d'eux a un nombre fini de racines (Racines, (iii)), et l'intersection est finie. Or la partie considérée rencontre l'axe $X_2 = 0$ en une infinité de points sans le contenir.

À gauche, le cercle rencontre la droite

X_2 = \frac{X_1 + 1}2

en deux points seulement,

(-1, 0)

(\frac35, \frac45)

, dont les coordonnées sont dans

F

. À droite, la partie

D

, en rouge, est la droite

L

d'équation

X_2 = 0

, en pointillé, privée de l'origine, marquée d'un cercle vide. Un polynôme nul sur

D

a, restreint à

L

, une infinité de racines : il est nul sur

L

tout entière, en particulier en

(0, 0)

, si bien que

D

n'est pas de la forme

Z(S)

. Les points de

F^2

sont placés comme ceux du plan, pour l'intuition seulement.

Remarque

Sans hypothèse sur $K$ , $Z$ ne distingue pas assez d'idéaux. Sur le corps $K = {\mathbb Z/3\mathbb Z}$ (ℤ/nℤ), les carrés de $0$ , $1$ et $2$ valent $0$ , $1$ et $1$ , si bien que $X^2 + 1$ n'a pas de racine : $Z(X^2 + 1) = \varnothing = Z(1)$ . Pourtant $X^2 + 1$ , de degré $2$ et sans racine, n'a pas de facteur de degré $1$ (Racines, (i)) : il est irréductible, et l'idéal qu'il engendre est maximal dans l'anneau principal $K[X]$ (K[X] principal ; Principal ⇒ factoriel, (i)), donc différent de $K[X]$ . Le Nullstellensatz, au nœud suivant, demande un corps algébriquement clos.

Repose sur

ℤ Algèbre commutative

Sert à

Théorème des zéros de Hilbert