Théorème des zéros de Hilbert

(i) Montrons d'abord que $\mathfrak m_a$ est maximal. L'évaluation en $a$ est un morphisme surjectif sur $K$, dont le noyau contient $\mathfrak m_a$. Réciproquement, dans l'anneau $K[X]/\mathfrak m_a$, la classe de $X_i$ est celle de $a_i$ ; la surjection canonique étant un morphisme d'anneaux qui fixe $K$, la classe de $P$ est $P$ évalué en ces classes (Évaluation, (iii)), c'est-à-dire la classe de $P(a)$ : $P - P(a) \in \mathfrak m_a$. Si $P(a) = 0$, alors $P \in \mathfrak m_a$.

Le noyau est donc $\mathfrak m_a$, et le quotient, isomorphe à $K$ (Anneau quotient), est un corps : $\mathfrak m_a$ est maximal (Idéaux premiers, maximaux).

Réciproquement, soit $\mathfrak m$ un idéal maximal et $\pi : K[X] \to L = K[X]/\mathfrak m$ la surjection canonique, morphisme d'anneaux (Anneau quotient) ; $L$ est un corps (Idéaux premiers, maximaux). La restriction de $\pi$ à $K$ est injective, son noyau étant un idéal du corps $K$ qui ne contient pas $1$ ; on identifie $K$ à son image, sous-corps de $L$.

Alors $\pi$ est l'évaluation en $x = (\pi(X_1), \dots, \pi(X_n))$, par unicité dans la propriété universelle, et $L = K[x_1, \dots, x_n]$. Par le lemme de Zariski (Lemme de Zariski), $L$ est de dimension finie $d$ sur $K$.

Pour chaque $i$, la famille $1, x_i, \dots, x_i^d$, à $d + 1$ éléments, est liée (Dimension, (ii)) : il existe $P \neq 0$ dans $K[X]$ tel que $P(x_i) = 0$. Comme $K$ est algébriquement clos, $P$ est produit d'une constante non nulle et de facteurs $X - c$, par récurrence sur le degré (Racines, (i)) ; le produit des $x_i - c$ étant nul dans le corps $L$, l'un des facteurs est nul : $x_i = a_i \in K$.

Ainsi $X_i - a_i \in \mathfrak m$ pour tout $i$, d'où $\mathfrak m_a \subset \mathfrak m$, et $\mathfrak m = \mathfrak m_a$ par maximalité de $\mathfrak m_a$, puisque $\mathfrak m \neq K[X]$.

Enfin, si $J \neq K[X]$, il est contenu dans un idéal maximal (Krull sans choix, (i)), de la forme $\mathfrak m_a$, et $a \in Z(J)$.

(ii) Si $P^m \in J$, $P$ s'annule là où $P^m$ s'annule : $\sqrt J \subset I(Z(J))$.

Réciproquement, soit $P \in I(Z(J))$. Par (i), un idéal maximal qui contient $J$ est de la forme $\mathfrak m_a$, noyau de l'évaluation en $a$ ; il contient $J$, donc $a \in Z(J)$, puis $P(a) = 0$ et $P \in \mathfrak m_a$.

Ainsi $P$ appartient à tous les idéaux maximaux qui contiennent $J$, et leur intersection est $\sqrt J$ (Nilradical, (iii), avec $I = \{0\}$).