Corollaire 1Géométrie algébrique

Le dictionnaire entre algèbre et géométrie

Énoncé

Soit $K$ algébriquement clos.

(i) $Z$ et $I$ sont des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les ensembles algébriques de ${K^n}$ et les idéaux radicaux de ${K[X_1, \dots, X_n]}$ .

(ii) L'application $a \mapsto \mathfrak m_a$ est une bijection de $K^n$ sur l'ensemble des idéaux maximaux, c'est-à-dire sur les points fermés de ${\operatorname{Spec}} K[X]$ , et $a \in Z(J)$ si et seulement si $\mathfrak m_a \in {V}(J)$ .

Démonstration

(i) Si $J$ est radical, $I(Z(J)) = \sqrt J = J$ par le Nullstellensatz (Nullstellensatz, (ii)) ; si $Y$ est algébrique, $Z(I(Y)) = Y$ (Ensembles algébriques). Les deux applications renversent l'inclusion par définition.

(ii) La forme faible du Nullstellensatz (Nullstellensatz, (i)) donne la surjectivité ; $\mathfrak m_a = \mathfrak m_b$ entraîne $b \in Z(\mathfrak m_a) = \{a\}$ , d'où l'injectivité. Un idéal maximal est un point fermé (Points fermés, sens direct de (ii), sans choix). Réciproquement, soit $\mathfrak p$ un point fermé de ${\operatorname{Spec}} K[X]$ ; s'il n'était pas maximal, il serait strictement contenu dans un idéal $J \neq K[X]$ , lui-même contenu dans un idéal maximal $\mathfrak M$ (Krull sans choix, (i)), qui est premier (Idéaux premiers, maximaux, (iii)) et différent de $\mathfrak p$ : on aurait $V(\mathfrak p) \neq \{\mathfrak p\}$ , alors que $V(\mathfrak p)$ est l'adhérence de $\mathfrak p$ (Points fermés, (i)). Ce sens n'utilise donc aucun choix.

Enfin $a \in Z(J)$ signifie que $J$ est contenu dans le noyau de l'évaluation en $a$ , qui est $\mathfrak m_a$ .

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Remarque

Ce dictionnaire est la raison d'être du spectre : il identifie l'espace géométrique $K^n$ aux points fermés de $\operatorname{Spec} K[X]$ , et chaque ensemble algébrique à un fermé de Zariski. Grothendieck a pris le spectre de n'importe quel anneau commutatif comme espace de départ ; recollés, ces spectres forment les schémas.

Remarque

Les idéaux premiers correspondent aux ensembles algébriques irréductibles, ceux qui ne sont pas réunion de deux fermés strictement plus petits. Les idéaux maximaux correspondent aux points ; les idéaux premiers non maximaux, aux ensembles irréductibles qui ne sont pas réduits à un point, comme une droite, ou le cercle $Z(X_1^2 + X_2^2 - 1)$ lorsque $K$ n'est pas de caractéristique $2$ . Le spectre ajoute à chacun de ces derniers un point générique, qui le représente tout entier.

Repose sur

Théorème des zéros de Hilbert Adhérence d'un point, points fermés

Sert à

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