Idéaux maximaux d'un anneau de polynômes sur un corps

(i) Par récurrence sur $n$. Pour $n = 0$, le seul idéal de $K$ différent de $K$ est $\{0\}$ (Corps, (ii)), et il est maximal. Soit $n \geqslant 1$ et $J \neq K[X_1, \dots, X_n]$, que l'on note $K[X]$.

Un élément de $J$ unitaire en $X_n$ à une constante près. Si $J = \{0\}$, on le remplace par l'idéal $X_nK[X]$, qui le contient et ne contient pas $1$, puisque ses éléments $X_nQ$ ont un coefficient nul en degré $0$ en $X_n$. On peut donc prendre $f \in J$ non nul.

En développant les coefficients de $f$ en $X_n$, puis ceux-ci, par récurrence, on écrit $f = \sum_{e \in E} c_e X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n}$, où $E \subset \mathbb N^n$ est fini et non vide et les $c_e \in K$ sont non nuls. Soit $r$ un entier strictement supérieur à tous les $e_i$, et $$w(e) = e_n + e_1r + e_2r^2 + \cdots + e_{n-1}r^{n-1}.$$

Deux éléments distincts de $E$ ont des poids distincts. En effet, $w(e)$ s'écrit en base $r$ avec les chiffres $e_n, e_1, \dots, e_{n-1}$, tous strictement inférieurs à $r$. Si $r^k$ est la plus haute puissance dont le chiffre diffère d'un poids à l'autre, l'écart sur ce chiffre contribue au moins $r^k$ à la différence des poids, et les écarts sur les chiffres inférieurs au plus $(r - 1)(1 + r + \cdots + r^{k-1}) = r^k - 1$.

Soit $\varphi$ le morphisme d'anneaux de $K[X]$ dans lui-même qui fixe $K$, envoie $X_i$ sur $X_i + X_n^{r^i}$ pour $i < n$, et $X_n$ sur $X_n$ (Évaluation, (iii)), et $\psi$ celui qui envoie $X_i$ sur $X_i - X_n^{r^i}$. Les composées $\psi \circ \varphi$ et $\varphi \circ \psi$ fixent $K$ et chaque $X_i$, donc sont l'identité par unicité : $\varphi$ est un automorphisme.

Comme polynôme en $X_n$ à coefficients dans $K[X']$, $X_i + X_n^{r^i}$ est unitaire de degré $r^i$. L'image $\varphi(X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n})$ est donc un produit de polynômes unitaires, unitaire de degré $w(e)$ (Anneau A[X], (ii)). Si $e^*$ est l'élément de $E$ de plus grand poids $N = w(e^*)$, on obtient $$\varphi(f) = c\,X_n^N + \sum_{k < N} g_k X_n^k,$$ avec $c = c_{e^*} \neq 0$ et $g_k \in K[X']$.

L'idéal $\varphi(J)$ est différent de $K[X]$ et contient $\varphi(f)$. S'il est contenu dans un idéal maximal $\mathfrak M$, alors $J \subset \varphi^{-1}(\mathfrak M)$, idéal maximal, puisque $\varphi$ induit un isomorphisme de $K[X]/\varphi^{-1}(\mathfrak M)$ sur le corps $K[X]/\mathfrak M$ (Anneau quotient, Idéaux premiers, maximaux, (ii)). On peut donc supposer que $J$ contient un polynôme $f = cX_n^N + \sum_{k<N} g_kX_n^k$, avec $c \in K^\times$.

Une variable de moins. L'ensemble $J' = J \cap K[X']$ est un idéal de $K[X']$ qui ne contient pas $1$ ; par hypothèse de récurrence, il est contenu dans un idéal maximal $\mathfrak m'$ de $K[X']$. Soit $Q$ l'idéal de $K[X]$ engendré par $J$ et $\mathfrak m'$, formé des sommes $j + \sum_i a_ih_i$ avec $j \in J$, $a_i \in \mathfrak m'$ et $h_i \in K[X]$.

Le quotient $M = K[X]/J$ est un $K[X']$-module (Module). La division euclidienne par $c^{-1}f$, unitaire en $X_n$ (Division des polynômes, (i)), écrit tout $P \in K[X]$ comme un multiple de $f$ plus un polynôme de degré en $X_n$ inférieur à $N$ : $M$ est engendré par les classes $u_k$ de $X_n^k$, $0 \leqslant k < N$.

L'idéal $Q$ ne contient pas $1$. Montrons d'abord, par récurrence sur $m$, le fait suivant, pour un anneau $R$, un idéal $\mathfrak a$ de $R$ et un $R$-module $V = Rv_1 + \cdots + Rv_m$ : si tout élément de $V$ s'écrit $\sum_j b_jy_j$ avec $b_j \in \mathfrak a$ et $y_j \in V$, il existe $a \in \mathfrak a$ tel que $(1 - a)V = \{0\}$. Pour $m = 0$, $V = \{0\}$ et $a = 0$ convient.

Pour $m \geqslant 1$, le module quotient $V/Rv_m$ est engendré par $m - 1$ éléments et vérifie la même hypothèse : il existe $b \in \mathfrak a$ tel que $(1 - b)V \subset Rv_m$. En développant sur les $v_l$, on écrit $v_m = \sum_l a_lv_l$ avec des $a_l \in \mathfrak a$, d'où $(1 - b)v_m = \sum_l a_l(1 - b)v_l = c'v_m$ avec $c' \in \mathfrak a$, puisque chaque $(1 - b)v_l$ est dans $Rv_m$.

Ainsi $(1 - b - c')v_m = 0$, puis $(1 - b - c')(1 - b)V \subset (1 - b - c')Rv_m = \{0\}$, et $(1 - b - c')(1 - b)$ s'écrit $1 - a$ avec $a \in \mathfrak a$.

Si l'on avait $1 \in Q$, tout $P \in K[X]$ s'écrirait $j + \sum_i a_ih_i$, et la classe de $P$ dans $M$ serait $\sum_i a_i\bar h_i$, avec $a_i \in \mathfrak m'$. Le fait précédent, pour $R = K[X']$, $\mathfrak a = \mathfrak m'$, $V = M$ et les générateurs $u_0, \dots, u_{N-1}$, donnerait $a \in \mathfrak m'$ avec $(1 - a)\bar 1 = 0$, c'est-à-dire $1 - a \in J \cap K[X'] = J' \subset \mathfrak m'$, puis $1 \in \mathfrak m'$, ce qui est exclu.

Un idéal maximal contenant $Q$. L'anneau $B = K[X]/Q$ n'est pas nul, et l'action de $a \in K[X']$ par multiplication n'y dépend que de la classe de $a$ modulo $\mathfrak m'$, puisque $\mathfrak m' \subset Q$ : $B$ est un espace vectoriel sur le corps $F = K[X']/\mathfrak m'$ (Idéaux premiers, maximaux, (ii)), engendré par les classes de $1, X_n, \dots, X_n^{N-1}$, donc de dimension finie sur $F$, au plus $N$ (Dimension, (ii)), et ses idéaux en sont des sous-espaces.

Les dimensions sur $F$ des idéaux de $B$ différents de $B$ forment une partie de $\{0, \dots, N - 1\}$ (Dimension, (iii)), non vide puisqu'elle contient celle de $\{0\}$. Soit $\mathfrak n$ un tel idéal de dimension maximale. Un idéal $\mathfrak n' \neq B$ qui contiendrait strictement $\mathfrak n$ serait de dimension strictement plus grande (Dimension, (iii)) : $\mathfrak n$ est un idéal maximal de $B$.

L'image réciproque $\mathfrak M$ de $\mathfrak n$ dans $K[X]$ est le noyau de la surjection composée $K[X] \to B \to B/\mathfrak n$, à valeurs dans un corps : $\mathfrak M$ est un idéal maximal (Anneau quotient, Idéaux premiers, maximaux, (ii)), et il contient $Q \supset J$.

(ii) Comme $\pi$ est surjective, $\pi(\mathfrak M)$ est un idéal de $A$ : $\pi(m)\pi(x) = \pi(mx)$. Un élément $x$ tel que $\pi(x) \in \pi(\mathfrak M)$ s'écrit $m + i$ avec $m \in \mathfrak M$ et $i \in I \subset \mathfrak M$ : $\pi^{-1}(\pi(\mathfrak M)) = \mathfrak M$, et $\pi(\mathfrak M) \neq A$ puisque $1 \notin \mathfrak M$.

Si $\mathfrak N \neq A$ est un idéal qui contient $\pi(\mathfrak M)$, son image réciproque est un idéal qui contient $\mathfrak M$ et ne contient pas $1$ ; elle vaut $\mathfrak M$, et $\mathfrak N = \pi(\pi^{-1}(\mathfrak N)) = \pi(\mathfrak M)$ : $\pi(\mathfrak M)$ est maximal.

Enfin, si $J \neq A$, l'idéal $\pi^{-1}(J)$ contient $I$ et ne contient pas $1$ ; par (i), il est contenu dans un idéal maximal $\mathfrak M$, et $J = \pi(\pi^{-1}(J)) \subset \pi(\mathfrak M)$.