Théorème 1Géométrie algébrique

Existence d'idéaux maximaux ⋆

⋆ Axiome du choix

La démonstration utilise le lemme de Zorn. Réciproquement, Hodges a montré en 1979 que l'énoncé « tout anneau commutatif non nul a un idéal maximal » entraîne l'axiome du choix ; cette réciproque est admise ici.

Énoncé

Dans un anneau commutatif $A$ , tout idéal $I \neq A$ est contenu dans un idéal maximal. En particulier, si $A \neq \{0\}$ , alors $A$ possède un idéal maximal, donc un idéal premier (Idéaux premiers, maximaux), et tout élément non inversible appartient à un idéal maximal.

Démonstration

L'ensemble $\mathcal E$ des idéaux $J \neq A$ contenant $I$ , ordonné par inclusion, contient $I$ . Il est inductif : la réunion d'une chaîne non vide d'idéaux est un idéal, puisque deux éléments de la réunion appartiennent à un même membre de la chaîne, et elle ne contient pas $1$ , puisqu'aucun membre ne le contient (Idéal) ; la chaîne vide est majorée par $I$ .

Le lemme de Zorn (Lemme de Zorn) fournit un élément maximal de $\mathcal E$ , qui est un idéal maximal. Si $A \neq \{0\}$ , on l'applique à $I = \{0\}$ ; si $x$ n'est pas inversible, on l'applique à $xA$ , qui est différent de $A$ .

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Remarque

Le choix ne sert ici qu'à traiter un anneau quelconque. Pour un anneau de polynômes $K[X_1, \dots, X_n]$ sur un corps et pour ses quotients, qui sont les anneaux du Nullstellensatz, le nœud Krull sans choix construit un idéal maximal sans aucune forme du choix.

Le caractère noethérien de ces anneaux (Base de Hilbert) ne suffit pas à lui seul. Un anneau principal est noethérien (Anneaux noethériens, (iii)), et pourtant W. Hodges a construit un modèle de $\mathsf{ZF}$ où un anneau principal n'a aucun idéal maximal (« Läuchli's algebraic closure of Q », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 79, 1976, p. 289-297), résultat admis ici comme au nœud Points fermés : pour les anneaux noethériens, $\mathsf{ZF}$ seul ne suffit pas, alors que le choix dépendant suffit, par la condition maximale de Anneaux noethériens, (ii).

Repose sur

Ordinaux, cardinaux

Sert à

Adhérence d'un point, points fermés Le spectre est quasi-compact Radical d'un idéal et intersection des idéaux premiers