Proposition 2Géométrie algébrique

Adhérence d'un point, points fermés ⋆

⋆ Axiome du choix

Le point (i), le sens direct de (ii), « idéal maximal ⇒ point fermé », et le point (iii) n'utilisent aucun choix. Pour un anneau quelconque, la réciproque de (ii), « point fermé ⇒ idéal maximal », utilise le théorème de Krull, donc le lemme de Zorn, et elle ne se démontre pas dans $\mathsf{ZF}$ seul. W. Hodges a construit un modèle de $\mathsf{ZF}$ où un anneau principal $A$ n'a aucun idéal maximal (« Läuchli's algebraic closure of Q », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 79, 1976, p. 289-297) ; ce résultat d'indépendance est admis ici. Ses idéaux premiers non nuls seraient maximaux (Principal ⇒ factoriel, (i)), donc $\operatorname{Spec} A = \{(0)\}$ , et $(0)$ y est un point fermé sans être maximal, $A$ n'étant pas un corps. Pour un quotient $A$ d'un anneau de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps, ce sens n'utilise aucun choix, comme on le verra : l'idéal $J$ de la preuve est contenu dans un idéal maximal de $A$ par Krull sans choix, (ii), qui remplace le théorème de Krull ; le cas de $K[X_1, \dots, X_n]$ lui-même est traité au nœud Dictionnaire.

Énoncé

(i) L'adhérence de $\{\mathfrak p\}$ dans ${\operatorname{Spec}} A$ est ${V}(\mathfrak p)$ .

(ii) Si $\mathfrak p$ est un idéal maximal, le point $\mathfrak p$ est fermé. Réciproquement, tout point fermé est un idéal maximal.

(iii) Deux points distincts ne sont pas tous deux dans l'adhérence l'un de l'autre : l'un des deux a un voisinage qui ne contient pas l'autre.

Démonstration

(i) Un fermé $V(S)$ contient $\mathfrak p$ si et seulement si $S \subset \mathfrak p$ , et alors $V(\mathfrak p) \subset V(S)$ . Le plus petit fermé contenant $\mathfrak p$ est donc $V(\mathfrak p)$ (Intérieur, adhérence).

(ii) $\{\mathfrak p\}$ est fermé si et seulement si $V(\mathfrak p) = \{\mathfrak p\}$ , c'est-à-dire si aucun idéal premier ne contient strictement $\mathfrak p$ . Si $\mathfrak p$ est maximal, c'est le cas. Réciproquement, si $\mathfrak p$ n'est pas maximal, il est strictement contenu dans un idéal $J \neq A$ , lui-même contenu dans un idéal maximal par le théorème de Krull, qui est premier : ce sens utilise donc le lemme de Zorn (Théorème de Krull).

(iii) Si $\mathfrak p \neq \mathfrak q$ , l'un ne contient pas l'autre, disons $\mathfrak p \mathrel{\not\subset} \mathfrak q$ . Alors $\mathfrak q \notin V(\mathfrak p)$ , l'adhérence de $\mathfrak p$ .

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est de transposer l'intuition des espaces séparés. $\operatorname{Spec} A$ ne l'est presque jamais : si $A$ est intègre, le point $(0)$ a pour adhérence $V(0)$ , l'espace tout entier. Il appartient à tout ouvert non vide, et on l'appelle le point générique.

L'ouvert

D(6)

\operatorname{Spec}\mathbb Z

est formé des idéaux premiers qui ne contiennent pas

6

: il exclut

2\mathbb Z

3\mathbb Z

, barrés, et contient tous les autres

p\mathbb Z

, ainsi que le point générique

(0)

Repose sur

La topologie de Zariski Existence d'idéaux maximaux

Sert à

Le dictionnaire entre algèbre et géométrie