La topologie de Zariski

(i) Un idéal contient $S$ si et seulement s'il contient l'idéal engendré par $S$ (Idéal). Tout idéal premier contient $0$, et aucun ne contient $1$.

(ii) La première égalité est immédiate. Pour la seconde, $IJ \subset I$ et $IJ \subset J$ donnent $V(I) \cup V(J) \subset V(IJ)$. Réciproquement, soit $\mathfrak p \supset IJ$ et supposons $I \not\subset \mathfrak p$, avec $a \in I \setminus \mathfrak p$. Pour tout $b \in J$, $ab \in \mathfrak p$, donc $b \in \mathfrak p$ puisque $\mathfrak p$ est premier : $J \subset \mathfrak p$.

(iii) Par (i) et (ii), les $V(S)$ contiennent $\varnothing$ et $\operatorname{Spec} A$, et sont stables par intersection quelconque et réunion finie : leurs complémentaires vérifient les axiomes d'une topologie (Espace topologique).

Le complémentaire de $V(S)$ est $\bigcup_{f \in S} D(f)$ : les $D(f)$ forment une base. Enfin $fg \notin \mathfrak p$ équivaut, pour $\mathfrak p$ premier, à $f \notin \mathfrak p$ et $g \notin \mathfrak p$.