Théorème 3Géométrie algébrique

Le spectre est quasi-compact ⋆

⋆ Axiome du choix

La démonstration utilise le théorème de Krull, donc le lemme de Zorn. Elle ne demande pourtant qu'un idéal premier contenant $J$ , et le lemme de l'ultrafiltre suffit : dans $\mathsf{ZF}$ , il équivaut au théorème de l'idéal premier pour les anneaux commutatifs, selon lequel tout idéal différent de l'anneau est contenu dans un idéal premier (B. Banaschewski et R. Harting, « Lattice aspects of radical ideals and choice principles », Proc. London Math. Soc. 50, 1985, p. 385-404 ; nLab, prime ideal theorem). Cette équivalence est admise ici. Pour un quotient $A$ d'un anneau de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps, elle n'utilise aucun choix, comme on le verra : l'idéal maximal qui contiendrait $J$ est alors fourni par Krull sans choix, (ii), qui remplace le théorème de Krull.

Énoncé

Un espace topologique est quasi-compact si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Pour tout anneau commutatif $A$ , l'espace ${\operatorname{Spec}} A$ est quasi-compact.

Démonstration

Il suffit de traiter un recouvrement par des ouverts de la base, $\operatorname{Spec} A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ : un recouvrement quelconque se raffine en un tel recouvrement, et une sous-famille finie de celui-ci donne, en prenant pour chacun de ses membres un ouvert du recouvrement initial qui le contient, une sous-famille finie de ce dernier.

L'égalité dit que ${V}(\{f_i : i \in I\}) = \varnothing$ (Topologie de Zariski). L'idéal $J$ engendré par les $f_i$ est donc égal à $A$ : sinon, il serait contenu dans un idéal maximal (Théorème de Krull), qui appartiendrait à $V(J)$ .

L'ensemble $J'$ des sommes $\sum_{i \in F} a_if_i$ , pour $F \subset I$ fini et $a_i \in A$ (Sommes finies), est un idéal. En effet, la différence de deux telles sommes, indexées par $F$ et $F'$ , en est une indexée par $F \cup F'$ , et le produit par $a \in A$ en est une aussi. Il contient chaque $f_i$ , et il est contenu dans tout idéal qui contient les $f_i$ , par récurrence sur le nombre de termes : c'est $J$ .

Ainsi $1 = \sum_{i \in F} a_i f_i$ pour une partie finie $F \subset I$ , et aucun idéal premier ne contient tous les $f_i$ , $i \in F$ : les $D(f_i)$ , $i \in F$ , recouvrent $\operatorname{Spec} A$ .

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Remarque

On dit « quasi-compact » et non « compact », car l'atlas réserve ce mot aux espaces séparés (Compacité), ce que le spectre n'est pas. La preuve traduit une propriété algébrique, qu'une combinaison égale à $1$ ne fait intervenir qu'un nombre fini de termes, en une propriété topologique.

Repose sur

La topologie de Zariski Existence d'idéaux maximaux

Sert à

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