Lemme de Zariski

On raisonne par récurrence sur le nombre $n$ de générateurs, l'énoncé étant démontré à chaque rang pour tous les couples $K \subset L$ à la fois. Pour $n = 0$, $L = K$, de dimension $1$. Soit $n \geqslant 1$, $L = K[x_1, \dots, x_n]$, et $x = x_1$. Deux cas se présentent.

Cas algébrique : il existe $Q \neq 0$ dans $K[X]$ tel que $Q(x) = 0$. Pour $P \in K[X]$, la division euclidienne $P = QS + R$, avec $\deg R < \deg Q$ (Division des polynômes, (ii)), donne $P(x) = R(x)$ : $F = K[x]$ est engendré par $1, x, \dots, x^{d-1}$, où $d = \deg Q$, et il est de dimension finie.

C'est un corps : pour $y \neq 0$ dans $F$, l'application $z \mapsto yz$ de $F$ dans $F$ est K-linéaire et injective, puisque $L$ est un corps, donc surjective (Théorème du rang), et $y$ a un inverse dans $F$.

Cas transcendant : $P(x) \neq 0$ pour tout $P \neq 0$ de $K[X]$. L'ensemble $$\begin{aligned} F = \{P(x)\,Q(x)^{-1} :{} &P, Q \in K[X],\ \\ &Q \neq 0\} \end{aligned}$$ est un sous-corps de $L$ : il contient $K$ et $x$, et il est stable par somme, produit et passage à l'inverse d'un élément non nul, puisque $$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{P'(x)}{Q'(x)} = \frac{(PQ' + P'Q)(x)}{(QQ')(x)},$$ avec $(QQ')(x) = Q(x)Q'(x) \neq 0$.

Dans les deux cas, $F$ est un sous-corps de $L$ qui contient $K$ et $x$. Le sous-anneau $F[x_2, \dots, x_n]$ de $L$ contient $K$ et $x_1, \dots, x_n$, donc il contient $K[x_1, \dots, x_n] = L$, d'où $F[x_2, \dots, x_n] = L$ : $L$ est engendré comme $F$-algèbre par $n - 1$ éléments, et l'hypothèse de récurrence le rend de dimension finie sur $F$.

Par le théorème de la base incomplète en dimension finie (Dimension, (iii)), $L$ a une base $(e_1, \dots, e_m)$ sur $F$ avec $e_1 = 1$.

Fin du cas algébrique. Si $(f_i)$ engendre $F$ sur $K$, les produits $f_ie_j$, en nombre fini, engendrent $L$ sur $K$ : tout $z = \sum_j \lambda_je_j$, avec $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}f_i$ et $\mu_{ij} \in K$, vaut $\sum_{i,j}\mu_{ij}\,f_ie_j$. Donc $L$ est de dimension finie sur $K$.

Le cas transcendant est impossible. Écrivons $x_ke_j = \sum_l a_{kjl}e_l$ pour $2 \leqslant k \leqslant n$, et $e_je_{j'} = \sum_l b_{jj'l}e_l$, avec des coefficients dans $F$, en nombre fini.

Chacun s'écrit $P(x)/Q(x)$ ; soit $f \in K[X]$ le produit de ces dénominateurs, non nul. Les coefficients sont alors dans $$A = \{P(x)\,f(x)^{-k} : P \in K[X],\ k \in {\mathbb N}\},$$ sous-anneau de $F$ qui contient $K$ et $x$.

L'ensemble $M = Ae_1 + \cdots + Ae_m$ est stable par addition et par multiplication par $A$, et par multiplication par chaque $e_j$, puisque les $b_{jj'l}$ sont dans $A$ ; il est donc stable par produit, et c'est un sous-anneau de $L$.

Il contient $1 = e_1$, donc $K$ et $x \in A$, ainsi que $x_k = x_ke_1 \in M$ : il contient $K[x_1, \dots, x_n] = L$.

Soit alors $y \in F$. On a $y = \sum_j \mu_je_j$ avec $\mu_j \in A$, et aussi $y = y\,e_1$ ; par unicité des coordonnées dans la base $(e_j)$ (Familles libres, bases, (i)), $y = \mu_1 \in A$. Ainsi $F = A$.

Posons $g = 1 + Xf$. Le polynôme $Xf$ est de degré $1 + \deg f \geqslant 1$ (Anneau A[X], (iii)), et ajouter la constante $1$ ne change pas son coefficient d'indice $1 + \deg f$ : $g$ est de degré $1 + \deg f \geqslant 1$, donc non nul, et $g(x) \neq 0$.

Comme $g(x)^{-1} \in F = A$, il existe $P \in K[X]$ et $k \in \mathbb N$ tels que $g(x)^{-1} = P(x)\,f(x)^{-k}$, c'est-à-dire $f(x)^k = g(x)P(x)$, et, l'évaluation en $x$ étant injective, $f^k = gP$ dans $K[X]$.

Par la formule du binôme (Binôme de Newton), $$(Xf)^k = (g - 1)^k = gR + (-1)^k$$ pour un $R \in K[X]$. Or $(Xf)^k = X^kgP$, d'où $(-1)^k = g\,(X^kP - R)$ : le polynôme $g$, de degré au moins $1$, diviserait une constante non nulle, ce qui contredit l'additivité des degrés dans l'anneau intègre $K[X]$.