Couple de Kuratowski

Si $a = c$ et $b = d$, les deux couples sont égaux par définition. Supposons réciproquement $(a, b) = (c, d)$.

Premier cas : $a = b$. Alors $(a, b) = \{\{a\}, \{a\}\} = \{\{a\}\}$ a pour seul élément $\{a\}$. Les deux éléments $\{c\}$ et $\{c, d\}$ de $(c, d)$ sont donc égaux à $\{a\}$. De $\{c\} = \{a\}$ on tire $c = a$, et de $\{c, d\} = \{a\}$ on tire $d = a$. Ainsi $c = a$ et $d = a = b$.

Second cas : $a \neq b$. Alors $b \notin \{a\}$, donc $\{a\} \neq \{a, b\}$, et $(a, b)$ a exactement deux éléments, dont un seul est un singleton : $\{a\}$. On ne peut avoir $c = d$, sinon $(c, d) = \{\{c\}\}$ n'aurait qu'un élément.

Donc $(c, d)$ a aussi un seul élément singleton, $\{c\}$. L'égalité des deux couples impose $\{a\} = \{c\}$, d'où $a = c$, puis $\{a, b\} = \{c, d\} = \{a, d\}$. Comme $b$ appartient à $\{a, d\}$ et que $b \neq a$, on obtient $b = d$.

Pour les triplets, $((a, b), c) = ((a', b'), c')$ donne $(a, b) = (a', b')$ et $c = c'$, puis $a = a'$ et $b = b'$.