Proposition 1Relations, fonctions

Existence du produit cartésien

Énoncé

Pour tous ensembles $A$ et $B$ , il existe un unique ensemble, noté $A \times B$ et appelé produit cartésien, dont les éléments sont exactement les couples $(a, b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ .

Démonstration

Soient $a \in A$ et $b \in B$ . Les ensembles $\{a\}$ et $\{a, b\}$ sont des parties de $A \cup B$ , donc des éléments de ${\mathcal P}(A \cup B)$ . Le couple $(a, b)$ est ainsi une partie de $\mathcal P(A \cup B)$ , c'est-à-dire un élément de $\mathcal P(\mathcal P(A \cup B))$ .

Le schéma de séparation, appliqué à cet ensemble et à la formule $\exists a\, \exists b\, (a \in A \wedge b \in B \wedge z = (a, b))$ , fournit l'ensemble cherché. L'unicité vient de l'extensionnalité.

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Remarque

La formule $z = (a, b)$ s'écrit dans le langage de $\mathsf{ZF}$ : elle dit que $z$ a exactement deux sortes d'éléments, l'ensemble dont le seul élément est $a$ et l'ensemble dont les éléments sont $a$ et $b$ . C'est ce qui rend la séparation applicable.

Remarque

On a $A \times \varnothing = \varnothing \times B = \varnothing$ , puisqu'aucun couple ne peut être formé. La démonstration emploie les axiomes de la paire, de la réunion et des parties, et le schéma de séparation (voir Opérations booléennes).

Repose sur

Couple de Kuratowski Axiomes de ZF

Sert à

Relation