Le plus petit ensemble inductif

Soit $I$ un ensemble inductif, qui existe par l'axiome de l'infini. Posons, par séparation, $$\begin{aligned} \omega = \{x \in I :{} & x \text{ appartient à toute} \\ & \text{partie inductive de } I\}. \end{aligned}$$ L'ensemble $\omega$ est inductif : $\varnothing$ appartient à toute partie inductive de $I$, et si $x$ appartient à toutes, $S(x)$ aussi.

Soit $J$ un ensemble inductif quelconque. Alors $I \cap J$ est une partie inductive de $I$, donc $\omega \subset I \cap J \subset J$.

Si $\omega'$ vérifie les mêmes propriétés, on a $\omega \subset \omega'$ et $\omega' \subset \omega$, d'où $\omega = \omega'$ par extensionnalité. En particulier, $\omega$ ne dépend pas du choix de $I$.