Définition 1Les entiers naturels

Successeur, inductif

Énoncé

Le successeur d'un ensemble $x$ est $S(x) = x \cup \{x\}$ . Un ensemble $X$ est inductif si $\varnothing \in X$ et si $x \in X$ entraîne $S(x) \in X$ .

On pose $0 = \varnothing$ , $1 = S(0) = \{0\}$ , $2 = S(1) = \{0, 1\}$ , $3 = S(2) = \{0, 1, 2\}$ , et ainsi de suite.

Remarque

Ce codage, dû à von Neumann, n'est pas le seul possible : Zermelo posait $S(x) = \{x\}$ . Seules comptent les propriétés démontrées dans ce graphe, et non la nature des ensembles qui représentent les entiers.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Le plus petit ensemble inductif