Les axiomes de Peano sont des théorèmes

$\omega$ est inductif, donc stable par $S$. Comme $n \in S(n)$, le successeur n'est jamais vide.

Supposons $S(n) = S(m)$ avec $n \neq m$. Comme $n \in S(n) = m \cup \{m\}$ et $n \neq m$, on a $n \in m$ ; symétriquement, $m \in n$. Or on ne peut avoir à la fois $n \in m$ et $m \in n$, d'après l'axiome de fondation.

Enfin, la propriété « $n = 0$ ou $n = S(n')$ pour un $n' \in \omega$ » est vraie pour $0$, et pour $S(n)$ avec $n' = n$ : elle est vraie pour tout $n$ par récurrence.