Les entiers sont des ensembles transitifs

Par récurrence. L'ensemble vide est transitif. Supposons $n$ transitif et soit $x \in S(n) = n \cup \{n\}$. Si $x \in n$, alors $x \subset n \subset S(n)$ ; si $x = n$, alors $x \subset S(n)$. Donc $S(n)$ est transitif.

Pour la seconde assertion, la propriété « tout élément de $n$ appartient à $\omega$ » est vraie pour $0$, et si elle est vraie pour $n$, les éléments de $S(n)$ sont les éléments de $n$, qui sont des entiers, et $n$ lui-même.