Exercice 6

La formule du binôme (chapitre 3, théorème 2) donne $$(n + 1)^{n} - 1 = \sum_{k = 1}^{n} \binom{n}{k} n^{k} = \binom{n}{1} n + \sum_{k = 2}^{n} \binom{n}{k} n^{k} = n^{2} + n^{2} \sum_{k = 2}^{n} \binom{n}{k} n^{k - 2}.$$ Les deux termes sont des multiples de $n^{2}$. $$\boxed{n^{2} \mid (n + 1)^{n} - 1}$$ À retenir. Tout repose sur le terme $k = 1$, qui vaut $n \times n$ : c'est le coefficient binomial $\binom{n}{1} = n$ qui fournit le second facteur $n$.