Exercice 5

(i) L'équation s'écrit $np - 3n - 2p + 6 = 6$, soit $(n - 2)(p - 3) = 6$. Le facteur $n - 2$ parcourt les diviseurs de $6$, c'est-à-dire $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$, et $p - 3$ vaut le quotient. $$\boxed{(n, p) \in \{(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4), (1, -3), (0, 0), (-1, 1), (-4, 2)\}}$$

(ii) L'équation impose $n \neq 0$ et $p \neq 0$, et s'écrit alors $5(n + p) = np$, soit $(n - 5)(p - 5) = 25$. Les diviseurs de $25$ sont $\pm 1$, $\pm 5$, $\pm 25$ ; le couple $n - 5 = p - 5 = -5$ donne $n = p = 0$, qu'il faut exclure. $$\boxed{(n, p) \in \{(6, 30), (10, 10), (30, 6), (4, -20), (-20, 4)\}}$$

(iii) On complète les carrés : $(n - 2)^{2} - (p + 1)^{2} = 5 + 4 - 1 = 8$, soit $$(n - p - 3)(n + p - 1) = 8.$$ Les deux facteurs $A = n - p - 3$ et $B = n + p - 1$ ont pour somme $2n - 4$, qui est paire : ils ont la même parité, donc sont tous deux pairs, puisque leur produit est pair. Il reste $$(A, B) \in \{(2, 4), (4, 2), (-2, -4), (-4, -2)\}, \qquad \text{avec } n = \frac{A + B + 4}{2} \text{ et } p = \frac{B - A - 2}{2}.$$

$$\boxed{(n, p) \in \{(5, 0), (5, -2), (-1, -2), (-1, 0)\}}$$ Piège. Il ne faut pas oublier les diviseurs négatifs : dans $\mathbb{Z}$, l'équation $AB = 6$ a huit solutions, et non quatre. L'argument de parité de (iii) élimine d'emblée les couples $(1, 8)$, $(8, 1)$, etc.