Exercice 4

1. Soit $2k + 1$, avec $k \in \mathbb{N}$, le plus petit des $n$ entiers impairs consécutifs. Leur somme vaut $$\sum_{j = 0}^{n - 1} (2k + 1 + 2j) = n(2k + 1) + n(n - 1) = n(2k + n).$$ Les deux facteurs $n$ et $2k + n$ sont supérieurs ou égaux à $2$, donc la somme admet un diviseur $n$ différent de $1$ et d'elle-même : elle n'est pas première. $$\boxed{\text{la somme vaut } n(2k + n), \text{ produit de deux entiers } \geqslant 2}$$

2. Pour trois entiers consécutifs $n - 1$, $n$, $n + 1$, le développement donne $$(n - 1)^{3} + n^{3} + (n + 1)^{3} = 3n^{3} + 6n = 3n(n^{2} + 2).$$ Si $3 \mid n$, alors $9 \mid 3n$. Sinon $n \equiv \pm 1 \;[3]$, donc $n^{2} \equiv 1 \;[3]$ et $3 \mid n^{2} + 2$. Dans les deux cas, $9$ divise $3n(n^{2} + 2)$. $$\boxed{(n - 1)^{3} + n^{3} + (n + 1)^{3} = 3n(n^{2} + 2) \equiv 0 \;[9]}$$