Exercice 3

On a $S = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ (chapitre 3).

Si $n$ est impair, $\frac{n + 1}{2}$ est un entier, et $S = n \times \frac{n + 1}{2}$ est un multiple de $n$.

Si $n$ est pair, on écrit $n = 2m$ : alors $S = m(2m + 1) = n \times m + m$, avec $0 \leqslant m < n$. Par unicité de la division euclidienne, le reste est $m$. $$\boxed{\text{le reste vaut } 0 \text{ si } n \text{ est impair, et } \frac{n}{2} \text{ si } n \text{ est pair}}$$ À retenir. Pour lire un reste sur une égalité $S = nq + r$, il faut vérifier $0 \leqslant r < n$ ; c'est l'unicité du théorème 1 qui permet alors de conclure.