Exercice 2

La méthode est la même dans les trois cas : on retranche au dividende un multiple du diviseur, ce qui ne change pas la divisibilité (proposition 1), jusqu'à obtenir une constante.

(i) Comme $n + 3 = (n + 1) + 2$, on a $n + 1 \mid n + 3$ si et seulement si $n + 1 \mid 2$, c'est-à-dire $n + 1 \in \{1, 2\}$. $$\boxed{n \in \{0, 1\}}$$

(ii) On a $n^{2} + 3n + 5 = (n + 2)(n + 1) + 3$, donc la condition équivaut à $n + 2 \mid 3$. Comme $n + 2 \geqslant 2$, il faut $n + 2 = 3$. $$\boxed{n = 1}$$ Vérification : $3 \mid 9$. ✓

(iii) On a $n^{2} + 1 = (n + 1)(n - 1) + 2$, donc la condition équivaut à $n + 1 \mid 2$. $$\boxed{n \in \{0, 1\}}$$